Diferença entre os produto escalar.

por **380625** » Seg Ago 15, 2011 19:43

Por que quando vamos estudar produtos escalares e é considerado um sistema de coordenadas a formula esta sem o cos teta. . No livro do Boulos ele friza bem que se os vetores pertencem a uma base ortonormal o produto escalar é dado por u*v= x1y1 + x2y2 + x3y3

E pq na outra formula tem a informação que o produto escalar so depende do comprimento dos vetores e dos angulos entre eles. u*v= ||u|| . ||v|| cos teta.

O que acontece nesse caso.

Grato
Flávio Santana.

por **LuizAquino** » Seg Ago 15, 2011 21:32

380625 escreveu:Por que quando vamos estudar produtos escalares e é considerado um sistema de coordenadas a formula esta sem o cos teta. . No livro do Boulos ele friza bem que se os vetores pertencem a uma base ortonormal o produto escalar é dado por u*v= x1y1 + x2y2 + x3y3

E pq na outra formula tem a informação que o produto escalar so depende do comprimento dos vetores e dos angulos entre eles. u*v= ||u|| . ||v|| cos teta.

Vamos estudar com atenção o que está escrito no livro de Boulos (Geometria Analítica - um tratamento vetorial).

Ele primeiro define o que vem a ser ângulo entre vetores. Em seguida, ele quer determinar uma fórmula para calcular esse ângulo.

Ele toma então os vetores não nulos $\vec{u}=(x_1,\,y_1,\,z_1)$ e $\vec{v}=(x_2,\,y_2,\,z_2)$ escritos em uma base ortonormal. A escolha da base ortonormal é importante, pois facilita o cálculo do módulo dos vetores.

Aplicando a Lei dos Cossenos , ele obtém a seguinte equação:

$||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos \theta = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Com essa equação ele obteve uma maneira de calcular o cosseno do ângulo entre os vetores. Basta dividir toda a equação por $||\vec{u}||\,||\vec{v}||$ (o que poderá ser feito pois os vetores não são nulos):
$\cos \theta = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{||\vec{u}||\,||\vec{v}||}$

A partir de agora ele decide definir uma nova operação entre vetores, chamada de produto escalar:

$\vec{u}\cdot \vec{v} = \begin{cases} 0\textrm{, se } \vec{u} = \vec{0} \textrm{ ou } \vec{v} = \vec{0} \\ ||\vec{u}||\,||\vec{v}||\cos \theta \textrm{, se } \vec{u} \neq \vec{0} \textrm{ e } \vec{v} \neq \vec{0} \\ \end{cases}$

Acontece que com essa definição escolhida por ele, considerando a equação anterior obtida através da Lei dos Cossenos, o produto escalar também pode ser escrito como:
$\vec{u}\cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Entretanto, o produto escalar só pode ser escrito dessa forma caso a base escolhida seja ortonormal. Caso contrário, a equação obtida através da Lei dos Cossenos seria outra e portanto a fórmula para o produto escalar também mudaria.

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Re: Diferença entre os produto escalar.

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