• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Volume do Tetraedro (SO)

Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor -civil- » Seg Ago 08, 2011 14:23

Boulos - Cap. 18 - Exercício 18-4

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r, s, t e pelo plano \pi, nos casos:

(a) \pi: x + y + z - 5 = 0
r: x = z = 0
s:x = y = 0
t: x - 2y = z = 0


Primeiramente passei as equações da reta para a forma vetorial. Ficou:

r: X = (0,0,0) + \theta(0,1,0)

s: X = (0,0,0) + \lambda(0,0,1)

t: X = (0,0,0) + \upsilon(2,1,0)

Daí eu igualei cada uma com a equação do plano \pi

r: X = (0,0,0) + \mu(0,1,0)
\pi: 0 + \mu + 0 - 5 = 0
\mu = 5
A= (0,5,0)

s: X = (0,0,0) + \lambda(0,0,1)
\pi: 0 + 0 +\lambda - 5 = 0
\lambda = 5
B = (0,0,5)

t: X = (0,0,0) + \gamma(2,1,0)
\pi: 2\gamma + \gamma + 0 - 5 = 0
3\gamma = 5
\gamma = 5/3
C = (0,5/3,0)

Eu entendi que o ponto de intersecção de r, s e t é O = (0,0,0)

Então o volume do tetraedro seria:

\frac{1}{6} [\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]

Só que o resultado é zero! O que eu estou fazendo de errado?
-civil-
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 47
Registrado em: Sex Abr 22, 2011 12:31
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Civil
Andamento: cursando

Re: Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor LuizAquino » Seg Ago 08, 2011 15:44

-civil- escreveu:t: X = (0,0,0) + \gamma(2,1,0)
\pi: 2\gamma + \gamma + 0 - 5 = 0
3\gamma = 5
\gamma = 5/3
C = (0,5/3,0)


Reveja o cálculo desse ponto C. A coordenada x não será zero.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Volume do Tetraedro (SO)

Mensagempor -civil- » Ter Ago 09, 2011 12:30

Realmente, o ponto C é (10/3,5/3,0). O produto misto é 250/3 e o volume é 125/9.

Obrigado pela ajuda!
-civil-
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 47
Registrado em: Sex Abr 22, 2011 12:31
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Civil
Andamento: cursando


Voltar para Geometria Analítica

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}