Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

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Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

Mensagempor bencz » Qui Jul 14, 2011 00:27

Olá, gostaria de saber como surgiu a formula para calcular a area total de um triangulo

Formula: {A}_{t} = \frac{|D|}{2}

Obrigado.
bencz
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Re: Gostaria de saber, como surgiu esta formula.

Mensagempor Molina » Dom Jul 17, 2011 15:10

Boa tarde.

Seja o triângulo A_1A_2A_3, onde os vértices A_1=(a_1,b_1), A_2=(a_2,b_2) e A_3=(a_3,b_3) são pontos quaisquer. A partir da origem O traçamos os segmentos OP e OQ, respectivamente equipotentes a A_3A_1 e A_3A_2, logo P=(\alpha_1,\beta_1) e Q=(\alpha_2,\beta_2), com \alpha_1=a_1-a_3, \beta_1=b_1-b_3, \alpha_2=a_2-a_3, \beta_2=b_2-b_3.

Então, A_t=area~de~A_1A_2A_3=area~de~OPQ=\frac{1}{2}|\alpha_1\beta_2-\alpha2\beta_1|

Ou seja, A_t = \frac{1}{2}|(a_1-a_3)(b_2-b_3)-(a_2-a_3)(b_1-b_3)|

Mas,

(a_1-a_3)(b_2-b_3)-(a_2-a_3)(b_1-b_3)=a_1b_2-a_1b_3-a_3b_2+a_3b_3-a_2b_1+a_2b_3+a_3b_1-a_3b_3 = a_1b_2-a_1b_3-a_3b_2-a_2b_1+a_2b_3+a_3b_1

E

D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & 1 \\ a_2 & b_2 & 1 \\ a_3 & b_3 & 1 \end{vmatrix} = a_1b_2 + b_1a_3 + a_2b_3 - b_2a_3 - b_1a_2 - a_1b_3

O que implica que temos que:

A_t = \frac{1}{2}|D|


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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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