[ângulo] Geometria Analítica

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[ângulo] Geometria Analítica

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Out 25, 2008 18:47

Olá, boa tarde, tudo bem?

Gostaria de saber se alguém pode me ajudar na resolução da questão que segue, tendo em vista que não consegui resolvê-la. Desde já agradeço pela ajuda de todos!!!

A questão é a seguinte --> Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são A(1,0), B(0,1) e C(0,?3). Então o ângulo BÂC mede:

a) 60º b) 45º c) 30º d) 18º e) 15º
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor admin » Qua Out 29, 2008 00:20

Olá Cleyson, boa noite!

Farei um comentário sem desenho. Para isso, vou nomear a origem (0,0) de ponto O.

Em seu desenho no plano cartesiano você pode começar anotando o ângulo O\hat{A}B.
Tente encontrar o ângulo O\hat{A}C, escolhendo entre seno, cosseno ou tangente. Pense qual forma é mais imediata!
Por fim, você pode obter o ângulo pedido por diferença, pois:
O\hat{A}C = O\hat{A}B + B\hat{A}C

Bons estudos!
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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