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Dúvida... A prova é hoje (Distância entreo ponto e o plano)

Dúvida... A prova é hoje (Distância entreo ponto e o plano)

Mensagempor valeuleo » Ter Mai 10, 2011 12:20

Estou resolvendo uma lista de geometria analítica e me deparei com uma questão onde o resultado que obtenho nuca é igual ao da apostila. A questão é:

Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1), B(1,1,-3) e C(-1,3,0).

Eu obtenho a resposta \frac{25 \sqrt[]{174}}{174}. Mas a correta é \frac{5\sqrt[]{174}}{58}

Me ajudem é urgente. Fiz todos os cálculos através da fórmula D = \frac{\left|ax+by+cz+d \right|}{\left|\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}} \right|}

Escolhi os valores do ponto A para representarem x, y e z.
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Re: Dúvida... A prova é hoje (Distância entreo ponto e o pla

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 11, 2011 10:30

O plano deve conter os pontos:
A = (3, 3, 1)
B = (1, 1, -3)
C = (-1, 3, 0)

Temos que:
\vec{AB} = (-2,\, -2,\, -4)
\vec{AC} = (-4,\, 0,\, -1)

O vetor normal a esse plano será:
\vec{n} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -2 & -2 & -4 \\ -4 & 0 & -1\end{vmatrix} = 2\vec{i} + 14\vec{j} - 8\vec{k}

O plano contém, por exemplo, o ponto A. Sendo assim, temos que:
2(x - 3) + 14(y - 3) - 8(z - 1) = 0
x + 7y - 4z - 20 = 0

A distância entre o ponto D = (2, 3, 3) e esse plano será:
d = \frac{|2 + 7\cdot 3 - 4\cdot 3 - 20|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-4)^2}} = \frac{3\sqrt{66}}{22}
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?