area do setor circular

por **stanley tiago** » Seg Mai 02, 2011 16:35

determine a area das superfícies assinaladas da figura:

a) ABCD é um quadrado , e r = $8 \sqrt[]{2}$

: sfds.GIF (2.66 KiB) Exibido 2150 vezes

Eu tentei de alguma formas aqui só q nao deu muito certo

$\alpha=\frac{360}{4} -- \alpha=90$ -- $r=8\sqrt[]{3}$ -- ${l}_{dc}= \frac{\alpha.r.\pi}{180}$

então ${l}_{dc}= \frac{90.8\sqrt[]{2}.\pi}{180}$ -- ${l}_{dc}= 4\pi\sqrt[]{2}$

${A}_{s}= \frac{{l}_{dc}.r}{2}$ -- ${A}_{s}= \frac{4\pi\sqrt[]{2}.8\sqrt[]{2}}{2}$ -- ${A}_{s}= 32\pi$

Então pessual foi até aqui que eu consegui tirar do exercício , apartir daqui eu nao sei o que fazer !

Ah , a resposta certa é 145,92 cm²

por **TheoFerraz** » Seg Mai 02, 2011 17:02

Pense o seguinte.
O diametro da circunferencia é a diagonal do quadrado.

A diagonal dum quadrado de lado $\alpha$ é sempre $\alpha\sqrt[]{2}$ .

No seu caso. a diagonal é duas vezes o raio (diametro) entao fica que o lado do quadrado é

$\alpha\sqrt[]{2}} = 2\times8\sqrt[]{2}$

$\alpha = 2\times8 = 16$

Dai voce percebe que seu quadrado tem lado 16.

Se voce quer a area da parte preta na figura. é simples

Area da circunferencia - area do quadrado = area desejada

Portanto:

${A}_{c} = \pi\times{r}^{2}$

e

${A}_{q} = {\alpha}^{2}$

Ai voce faz a conta pans, só não vou falar muito pq acabei de me tocar que nao sei direito o que o problema pede, se for a area preta entao faça isso, ${A}_{circunferencia} - {A}_{quadrado} = {A}_{desejada}$

Mas de qualquer jeito, use aquela jogada da diagonal do quadrado ser sempre $\alpha\sqrt[]{2}$ . E do diametro ser a diagonal do quadrado. Saindo dai vc tem informação até demais

Espero ter ajudado, Abraço

por **stanley tiago** » Seg Mai 02, 2011 17:22

É deu certo sim mlk , é isso mesmo

TheoFerraz escreveu: ${A}_{circunferencia} - {A}_{quadrado} = {A}_{desejada}$

vlw obrigado pela ajuda :y:

por **FilipeCaceres** » Seg Mai 02, 2011 19:51

: quadrilatero.png (6.35 KiB) Exibido 2139 vezes

Só para complementar.

Dado um quadrilátero qualquer, podemos descobrir qual a sua área sabendo o valor das diagonais e o ângulo entre elas.
$A=\frac{p.q.sen \alpha}{2}$

No exercício temos um quadrado, e portanto as diagonais são iguais e com valor

,pois está inscrita em uma circunferência, e o ângulo entre elas é de

, desta forma temos,
$A_{quadrado}=\frac{2r.2r.sen90}{2}=2r^2$

O resto é semelhante,
$A_{desejada}=A_{circunferencia} - A_{quadrado}$
$A_{desejada}=\pi r^2-2r^2$
$A_{desejada}=r^2(\pi -2)$

Abraço.

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