• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Um problema de Base Vetorial

Um problema de Base Vetorial

Mensagempor Umumum » Seg Jun 30, 2008 20:32

Sejam W1 e W2 subespaços de V de dimensão finita e suponha que {W}_{1}\cap {W}_{2} contém apenas o vetor nulo. Seja {e1, ..., em} uma base de W1, e {e'1, ..., e'n} uma base de W2. Mostre que {e1, ..., em, e'1, ..., e'n} é uma base do subespaço W = W1 + W2, onde W1 + W2 é conjunto de todos os vetores de V da forma x1 + x2, onde x1 pertence a W1 e x2 pertence a W2. Mostre ainda que dim(W) = dim(W1) + dim(W2)

não faço idéia para onde vai, alguém poderia ajudar-me?
Umumum
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Seg Jun 30, 2008 20:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia e Ciências dos Materiais
Andamento: cursando

Re: Um problema de Base Vetorial

Mensagempor admin » Qui Jul 03, 2008 00:39

Olá, boas-vindas!

Desculpe a demora em responder. Além de meu foco ser as dúvidas do Ensino Médio, nestes últimos dias tivemos um problema com um dos componentes do LaTeX no site, impossibilitando a exibição de novas fórmulas. E percebi justamente ao tentar enviar esta resposta ontem.

Como "estudante", adotaria a seguinte postura para entender como proceder na resolução, fica como sugestão:

-Em primeiro lugar, estude o que é um subespaço vetorial.
Há um tópico aqui com uma discussão relacionada, pode ajudar: viewtopic.php?f=117&t=296#p757

-Também estude o que é uma base vetorial.
Você verá que os vetores da base são linearmente independentes.
E que todos os vetores do subespaço considerado são gerados por estes vetores da base.

Por exemplo, como a base de W_1 é \left\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_m} \right\}, a dimensão de W_1 é m, e para cada vetor de W_1 existe uma "m-upla" de escalares \left( a_1, a_2, \cdots, a_m \right) tais que \vec{v} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} + \cdots + a_m\vec{e_m}.

Quando eu escrevo para você "estudar o que é..." quero dizer para rever com atenção as definições e teoremas.
Em resumo, será necessário utilizar a existência destes escalares, juntamente com as condições de subespaço.
Fábio Sousa
Equipe AjudaMatemática.com
| bibliografia | informações gerais | arquivo de dúvidas | desafios

"O tolo pensa que é sábio, mas o homem sábio sabe que ele próprio é um tolo."
William Shakespeare
Avatar do usuário
admin
Colaborador Administrador - Professor
Colaborador Administrador - Professor
 
Mensagens: 886
Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
Andamento: formado

Re: Um problema de Base Vetorial

Mensagempor Umumum » Sex Jul 04, 2008 12:42

Obrigado, finalmente uma luz nesse mar de escuridão.

O que vc sugeriu, foi exatamente o que fiz.

o que consegui encontrar, mas estou na dúvida se esse meu raciocínio é isso, pois para resolver, basei-me no link indicado e em um livro que tinha por aqui e gostaria de saber se posso considerar isso como certo:

Se x \in W1, pode então ser escrito como :

x = \sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i} --------(1)

E y \in W2, então toma a forma:

y = \sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j} ----------(2)

Se existir um z \in W que seja z = x+y, onde z=0, significa que y+x=0, então \sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j} + \sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i} = 0 ------(3), isso significará que uma combinação linear dos vetores da base W1 e de W2 só resultará no vetor nulo se:

{\alpha}_{1} = {\alpha}_{2} = ... = {\alpha}_{m} = {\beta}_{1} = {\beta}_{2} = ... = {\beta}_{n} = 0

Em outras palavras, segnifica que {{{e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}} é L.I.
Todo vetor de W é combinação linear de elementos de W1 e W2. Assim visto que z \in W e z = \sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i} + \sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j}, logo:

a base de w é {{e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}

{{{e}_{1}, ..., {e}_{m}}} é base de W1 --> Dim(W1) = m
{{{e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}} é base de W2 --> Dim(W2) = n
{{{e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}} é base de W --> Dim(W) = m + n => Dim(W) = Dim(W1)+Dim(W2)
Umumum
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Seg Jun 30, 2008 20:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia e Ciências dos Materiais
Andamento: cursando

Re: Um problema de Base Vetorial

Mensagempor admin » Sex Jul 04, 2008 13:13

Olá Umumum, bom dia, fico feliz pela luz!

Acredito que sua resolução esteja correta sim, apenas um comentário.
Em todos os \vec{e_i} e \vec{{e'}_j}, faltou a notação de vetor.

Bons estudos!
Fábio Sousa
Equipe AjudaMatemática.com
| bibliografia | informações gerais | arquivo de dúvidas | desafios

"O tolo pensa que é sábio, mas o homem sábio sabe que ele próprio é um tolo."
William Shakespeare
Avatar do usuário
admin
Colaborador Administrador - Professor
Colaborador Administrador - Professor
 
Mensagens: 886
Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
Andamento: formado

Re: Um problema de Base Vetorial

Mensagempor Umumum » Sex Jul 04, 2008 14:04

rapaz, se visse a dificuldade que tive para por essas formulas com esse editor daqui, vc n estaria estranhando a valta da notação do vetor
Umumum
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Seg Jun 30, 2008 20:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia e Ciências dos Materiais
Andamento: cursando

Re: Um problema de Base Vetorial

Mensagempor admin » Sex Jul 04, 2008 15:05

Olá.
Compreendo, mas aos poucos você se acostuma com a linguagem LaTeX.
O editor é apenas para facilitar, prevendo a expressão. Com o tempo, em geral, escrevemos diretamente.

Achei importante comentar porque apenas com símbolo \vec{} fica dito que \vec{e_i} e \vec{{e'}_j} são, de fato, vetores.

Até mais!
Fábio Sousa
Equipe AjudaMatemática.com
| bibliografia | informações gerais | arquivo de dúvidas | desafios

"O tolo pensa que é sábio, mas o homem sábio sabe que ele próprio é um tolo."
William Shakespeare
Avatar do usuário
admin
Colaborador Administrador - Professor
Colaborador Administrador - Professor
 
Mensagens: 886
Registrado em: Qui Jul 19, 2007 10:58
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática IME-USP
Andamento: formado


Voltar para Geometria Analítica

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 10 visitantes

 



Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: