Um problema de Base Vetorial

por **Umumum** » Seg Jun 30, 2008 20:32

Sejam W1 e W2 subespaços de V de dimensão finita e suponha que ${W}_{1}\cap {W}_{2}$ contém apenas o vetor nulo. Seja {e1, ..., em} uma base de W1, e {e'1, ..., e'n} uma base de W2. Mostre que {e1, ..., em, e'1, ..., e'n} é uma base do subespaço W = W1 + W2, onde W1 + W2 é conjunto de todos os vetores de V da forma x1 + x2, onde x1 pertence a W1 e x2 pertence a W2. Mostre ainda que dim(W) = dim(W1) + dim(W2)

não faço idéia para onde vai, alguém poderia ajudar-me?

por **admin** » Qui Jul 03, 2008 00:39

Olá, boas-vindas!

Desculpe a demora em responder. Além de meu foco ser as dúvidas do Ensino Médio, nestes últimos dias tivemos um problema com um dos componentes do LaTeX no site, impossibilitando a exibição de novas fórmulas. E percebi justamente ao tentar enviar esta resposta ontem.

Como "estudante", adotaria a seguinte postura para entender como proceder na resolução, fica como sugestão:

-Em primeiro lugar, estude o que é um subespaço vetorial.
Há um tópico aqui com uma discussão relacionada, pode ajudar: viewtopic.php?f=117&t=296#p757

-Também estude o que é uma base vetorial.
Você verá que os vetores da base são linearmente independentes.
E que todos os vetores do subespaço considerado são gerados por estes vetores da base.

Por exemplo, como a base de W_1

é $\left\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_m} \right\}$ , a dimensão de W_1

é

, e para cada vetor de W_1

existe uma "m-upla" de escalares $\left( a_1, a_2, \cdots, a_m \right)$ tais que $\vec{v} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2} + \cdots + a_m\vec{e_m}$ .

Quando eu escrevo para você "estudar o que é..." quero dizer para rever com atenção as definições e teoremas.
Em resumo, será necessário utilizar a existência destes escalares, juntamente com as condições de subespaço.

por **Umumum** » Sex Jul 04, 2008 12:42

Obrigado, finalmente uma luz nesse mar de escuridão.

O que vc sugeriu, foi exatamente o que fiz.

o que consegui encontrar, mas estou na dúvida se esse meu raciocínio é isso, pois para resolver, basei-me no link indicado e em um livro que tinha por aqui e gostaria de saber se posso considerar isso como certo:

Se x $\in$ W1, pode então ser escrito como :

$x = \sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i}$ --------(1)

E y $\in$ W2, então toma a forma:

$y = \sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j}$ ----------(2)

Se existir um z $\in$ W que seja z = x+y, onde z=0, significa que y+x=0, então $\sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j} + \sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i}$ = 0 ------(3), isso significará que uma combinação linear dos vetores da base W1 e de W2 só resultará no vetor nulo se:

${\alpha}_{1} = {\alpha}_{2} = ... = {\alpha}_{m} = {\beta}_{1} = {\beta}_{2} = ... = {\beta}_{n} = 0$

Em outras palavras, segnifica que { ${{e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}$ } é L.I.
Todo vetor de W é combinação linear de elementos de W1 e W2. Assim visto que z $\in$ W e z = $\sum_{i=1}^{m}{\alpha}_{i}{e}_{i} + \sum_{j=1}^{n}{\beta}_{j}{e'}_{j}$ , logo:

a base de w é { ${e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}$ }

{ ${{e}_{1}, ..., {e}_{m}}$ } é base de W1 --> Dim(W1) = m
{ ${{e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}$ } é base de W2 --> Dim(W2) = n
{ ${{e}_{1}, ..., {e}_{m}, {e'}_{1}, ..., {e'}_{n}}$ } é base de W --> Dim(W) = m + n => Dim(W) = Dim(W1)+Dim(W2)

por **admin** » Sex Jul 04, 2008 13:13

Olá Umumum, bom dia, fico feliz pela luz!

Acredito que sua resolução esteja correta sim, apenas um comentário.
Em todos os $\vec{e_i}$ e $\vec{{e'}_j}$ , faltou a notação de vetor.

Bons estudos!

por **Umumum** » Sex Jul 04, 2008 14:04

rapaz, se visse a dificuldade que tive para por essas formulas com esse editor daqui, vc n estaria estranhando a valta da notação do vetor

por **admin** » Sex Jul 04, 2008 15:05

Olá.
Compreendo, mas aos poucos você se acostuma com a linguagem LaTeX.
O editor é apenas para facilitar, prevendo a expressão. Com o tempo, em geral, escrevemos diretamente.

Achei importante comentar porque apenas com símbolo $\vec{}$ fica dito que $\vec{e_i}$ e $\vec{{e'}_j}$ são, de fato, vetores.

Até mais!