Um problema de Base Vetorial

[Umumum]

Sejam W1 e W2 subespaços de V de dimensão finita e suponha que contém apenas o vetor nulo. Seja {e1, ..., em} uma base de W1, e {e'1, ..., e'n} uma base de W2. Mostre que {e1, ..., em, e'1, ..., e'n} é uma base do subespaço W = W1 + W2, onde W1 + W2 é conjunto de todos os vetores de V da forma x1 + x2, onde x1 pertence a W1 e x2 pertence a W2. Mostre ainda que dim(W) = dim(W1) + dim(W2)

não faço idéia para onde vai, alguém poderia ajudar-me?

[admin]

Olá, boas-vindas!

Desculpe a demora em responder. Além de meu foco ser as dúvidas do Ensino Médio, nestes últimos dias tivemos um problema com um dos componentes do LaTeX no site, impossibilitando a exibição de novas fórmulas. E percebi justamente ao tentar enviar esta resposta ontem.

Como "estudante", adotaria a seguinte postura para entender como proceder na resolução, fica como sugestão:

-Em primeiro lugar, estude o que é um subespaço vetorial.
Há um tópico aqui com uma discussão relacionada, pode ajudar: viewtopic.php?f=117&t=296#p757

-Também estude o que é uma base vetorial.
Você verá que os vetores da base são linearmente independentes.
E que todos os vetores do subespaço considerado são gerados por estes vetores da base.

Por exemplo, como a base de é , a dimensão de é , e para cada vetor de existe uma "m-upla" de escalares tais que .

Quando eu escrevo para você "estudar o que é..." quero dizer para rever com atenção as definições e teoremas.
Em resumo, será necessário utilizar a existência destes escalares, juntamente com as condições de subespaço.

[Umumum]

Obrigado, finalmente uma luz nesse mar de escuridão.

O que vc sugeriu, foi exatamente o que fiz.

o que consegui encontrar, mas estou na dúvida se esse meu raciocínio é isso, pois para resolver, basei-me no link indicado e em um livro que tinha por aqui e gostaria de saber se posso considerar isso como certo:

Se x W1, pode então ser escrito como :

--------(1)

E y W2, então toma a forma:

----------(2)

Se existir um z W que seja z = x+y, onde z=0, significa que y+x=0, então = 0 ------(3), isso significará que uma combinação linear dos vetores da base W1 e de W2 só resultará no vetor nulo se:



Em outras palavras, segnifica que {} é L.I.
Todo vetor de W é combinação linear de elementos de W1 e W2. Assim visto que z W e z = , logo:

a base de w é {}

{} é base de W1 --> Dim(W1) = m
{} é base de W2 --> Dim(W2) = n
{} é base de W --> Dim(W) = m + n => Dim(W) = Dim(W1)+Dim(W2)

[admin]

Olá Umumum, bom dia, fico feliz pela luz!

Acredito que sua resolução esteja correta sim, apenas um comentário.
Em todos os e , faltou a notação de vetor.

Bons estudos!

[Umumum]

rapaz, se visse a dificuldade que tive para por essas formulas com esse editor daqui, vc n estaria estranhando a valta da notação do vetor

[admin]

Olá.
Compreendo, mas aos poucos você se acostuma com a linguagem LaTeX.
O editor é apenas para facilitar, prevendo a expressão. Com o tempo, em geral, escrevemos diretamente.

Achei importante comentar porque apenas com símbolo fica dito que e são, de fato, vetores.

Até mais!