Distância de ponto à reta (II)

por **Jonatan** » Qua Jul 07, 2010 11:32

Determine as equações das retas que formam 45º com o eixo dos x e estão à distância $\sqrt[]{2}$ do ponto P (3,4).

Pessoal, tentei fazer o seguinte:

Para uma reta:
y = ax + b
y = 1x + b (pois o a é o coeficiente angular, tg $\Theta$ = a e no caso do execício, $\Theta = 45º$ ; tg 45º = 1)

Como as retas estão com inclinação de 45º em relação ao eixo dos x, trata-se de uma função identidade, em que o coeficiente linear é nulo e o coeficiente angular é 1).

E a outra reta, como faz?

Alguém pode resolver o exercício para mim, passo-a-passo? Estou com dúvidas nessa parte da matéria, estudo sozinho e fica meio complicado. Se alguém puder ajudar, agradeço.

por **Douglasm** » Qua Jul 07, 2010 18:33

Olá Jonatan. Primeiramente sabemos que o coeficiente angular de ambas as retas é 1. Deste modo, eu fiz um desenho para ilustrar a situação:

: retas.jpg (8.37 KiB) Exibido 2953 vezes

(Conto com a sua boa vontade em verificar que os triângulos azuis possuem lados $\sqrt{2}$ ,

e

)

Por conta disso, podemos encontrar os pontos de intersecção entre a reta que passa pelo ponto P e pelas duas retas. Evidentemente os pontos são (2,5) e (4,3). Finalmente é só determinarmos as retas:

$y = x + 3 \;\mbox{e}\;y = x - 1$

por **Tom** » Qui Jul 08, 2010 00:53

A resolução do Douglas está correta. Segue abaixo outro método para obter o mesmo resultado usando a técnica de translação:

Defina um sistema de coordenadas retangulares auxiliar x'oy'

com origem no ponto P(3,4)

. Para esse sistema, a equação da circunferência em questão é : x'^2+y'^2=2

. Ao passo que no sistema de coordenadas convencional a equação seria (x-3)^2+(y-4)^2=2

Note que a equivalência translacional é, portanto: x'=x-3

e

Ainda para o sistema x'oy'

, como as retas que queremos achar possuem coeficiente angular igual a

, basta verificar a intercessão com a circunferência supracitada fazendo y'=x'

; assim obtemos : x'^2=y'^2=1

e, respeitando a posição dos eixos definidos obtemos os referidos pontos de intercessão (x',y')

a saber:

Decorre assim que a equação das retas é: y'=x'+2

e

Aplicando, agora, a equivalência translacional entre eixos:

Se $y'=x'+2\rightarrow (y-4)=(x-3)+2$ , isto é, y=x+3

Se $y'=x'-2\rightarrow (y-4)=(x-3)-2$ , isto é, y=x-1

Assim, no sistema de coordenadas convencional xoy

as retas em questão são: y=x-1

e

por **MarceloFantini** » Qui Jul 08, 2010 17:09

E existe a terceira resolução (que é bom que seja a última a ser apresentada) que é usando a fórmula de distância de ponto a reta;

$d = \frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow \sqrt {2} = \frac{\left|-3 +4 -b\right|}{\sqrt {(-1)^2 + 1^2}} \Rightarrow 2 = \left|1-b\right|$

Logo, y = x+3