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[Vetores] Dependência e Independência linear

[Vetores] Dependência e Independência linear

Mensagempor Eli Andrade » Seg Fev 04, 2019 16:29

Boa tarde! Resolvi uma questão sobre independência linear, mas no gabarito diz apenas se é verdadeira ou falsa, então gostaria de saber se respondi corretamente a seguinte questão:

Os vetores \vec{a} = (1, h, 0) , \vec{b} = (1, 0, k) e \vec{c} = (0,1,1) serão linearmente independentes desde que as constantes h,k \in \bkRrm{\rm I\kern-.17em R} sejam ambas diferentes de zero.


Eu comecei a responder levantando as seguintes questões:
1. Sempre serão LI caso a condição "h, k ambas diferentes de zero" seja atendida?
2. Se apenas h ou apenas k for diferente de zero os vetores serão LI?
*Note que se os vetores forem LD mesmo que as constantes h, k sejam ambas diferentes de zero a questão será falsa

Primeiro calculei o determinante, tendo noção de que Det = 0 é LD e Det ≠ 0 é LI
\begin{vmatrix}
   1 & h & 0 \\ 
   1 & 0 & k \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -k -h
A partir disso notei que se k = h o determinante seria ≠ 0, logo os vetores seriam LI. Caso k = -h, o determinante seria = 0, e os vetores LD.

Por fim, considerei k = 2, h = -2, tendo:
\begin{vmatrix}
   1 & -2 & 0 \\ 
   1 & 0 & 2 \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -2 + 2 = 0

Com isso, conclui que mesmo que h,k sejam ambas diferentes de zero, os vetores não serão sempre LI, caso k = -h eles serão LD. Logo, a questão é FALSA.



Tenho mais duas perguntas acerca desse enunciado:
1) Como resolver essa questão a partir de sistemas? Calculei, mas não consegui concluir muita coisa com \begin{cases}
{a}_{1} + {a}_{2} = 0\\
{a}_{1}h + {a}_{3} = 0 \\
{a}_{2}k + {a}_{3} = 0 
\end{cases} . Só tive a mesma noção ao fazer a combinação linear, considerando a condição que obtive a partir do determinante.

2) Existe um método mais rápido de responder questões como essa? Calculei sendo ambas igual a zero, ambas diferentes de zero e apenas uma sendo zero, antes de ter esse raciocínio.

Obrigada!
Eli Andrade
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.