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[Vetores] Dependência e Independência linear

[Vetores] Dependência e Independência linear

Mensagempor Eli Andrade » Seg Fev 04, 2019 16:29

Boa tarde! Resolvi uma questão sobre independência linear, mas no gabarito diz apenas se é verdadeira ou falsa, então gostaria de saber se respondi corretamente a seguinte questão:

Os vetores \vec{a} = (1, h, 0) , \vec{b} = (1, 0, k) e \vec{c} = (0,1,1) serão linearmente independentes desde que as constantes h,k \in \bkRrm{\rm I\kern-.17em R} sejam ambas diferentes de zero.


Eu comecei a responder levantando as seguintes questões:
1. Sempre serão LI caso a condição "h, k ambas diferentes de zero" seja atendida?
2. Se apenas h ou apenas k for diferente de zero os vetores serão LI?
*Note que se os vetores forem LD mesmo que as constantes h, k sejam ambas diferentes de zero a questão será falsa

Primeiro calculei o determinante, tendo noção de que Det = 0 é LD e Det ≠ 0 é LI
\begin{vmatrix}
   1 & h & 0 \\ 
   1 & 0 & k \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -k -h
A partir disso notei que se k = h o determinante seria ≠ 0, logo os vetores seriam LI. Caso k = -h, o determinante seria = 0, e os vetores LD.

Por fim, considerei k = 2, h = -2, tendo:
\begin{vmatrix}
   1 & -2 & 0 \\ 
   1 & 0 & 2 \\ 
   0 & 1 & 1 \\ 
 
\end{vmatrix}
= -2 + 2 = 0

Com isso, conclui que mesmo que h,k sejam ambas diferentes de zero, os vetores não serão sempre LI, caso k = -h eles serão LD. Logo, a questão é FALSA.



Tenho mais duas perguntas acerca desse enunciado:
1) Como resolver essa questão a partir de sistemas? Calculei, mas não consegui concluir muita coisa com \begin{cases}
{a}_{1} + {a}_{2} = 0\\
{a}_{1}h + {a}_{3} = 0 \\
{a}_{2}k + {a}_{3} = 0 
\end{cases} . Só tive a mesma noção ao fazer a combinação linear, considerando a condição que obtive a partir do determinante.

2) Existe um método mais rápido de responder questões como essa? Calculei sendo ambas igual a zero, ambas diferentes de zero e apenas uma sendo zero, antes de ter esse raciocínio.

Obrigada!
Eli Andrade
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.