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AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Raquel Botura » Sex Nov 09, 2018 11:19

[EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DA RETA NO PLANO]

Bom dia, gostaria de ajuda em Vetor diretor de uma reta NO PLANO e com a equação vetorial/paramétrica. Estou estudando para um exame de Portugal e neste caso, cobram essa matéria lá, e no Brasil, é encaixada no ensino superior.

A matéria em si eu entendi, porém to com dúvida nos exercícios cobrados e visto que quando busco vídeo aulas etc só encontro as equações usando o vetor no espaço (xo,yo,zo), enquanto nesse caso estão pedindo (xo,yo).

"A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(1,−5) e B(3,1) é
(x,y)=(−1/3,−m)+k(1/3,n)∧ k∈R, em que:

ai é pedido o valor de m e n, sendo o gabarito m=9; n=1"

E outro bem similar mas ao invés de 2 pontos, é dado um ponto e o vetor diretor.
"Uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto (−2,4) é paralela ao vetor (0,5) é
(x,y)=(a,−7)+k(b,2)∧k∈R, em que:

sendo O gabarito a=-2; b=0"
Nesses exercícios eu não entendo como achar esses valores, no primeiro exercício eu tentei substituir os valores na equação da reta que pode se achar utilizando os dois pontos dados, mas chutando, porque eu não acho que seja assim. Desculpa se estou pedindo muito, mas meu conhecimento sobre geometria analítica se limita a distância entre pontos, distância entre ponto e reta que é o que é cobrado aqui no Brasil. Se alguém puder me ajudar eu agradeço muito!

Obrigada, Raquel.
Raquel Botura
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Re: AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Gebe » Sex Nov 09, 2018 17:13

Fiz o desenho abaixo para facilitar a explicação.
vetores.png
vetores.png (8.11 KiB) Exibido 2166 vezes


No desenho temos o ponto A, o ponto B e o vetor diretor V.
Perceba que V em laranja é um vetor com mesma direção do segmento dado por AB (roxo), porém o modulo (tamanho) e a posição no plano cartesiano podem variar como sugere os vários vetores laranjas dispostos no desenho.

Assim sendo, a primeira coisa que devemos notar é que AB (roxo) tem a mesma direção que o vetor dado (1/3 , n). Não sabemos o tamanho desse vetor dado, mas sabemos que deve ser um pedacinho de AB ou um alongamento de AB.
Resumindo:
(1/3 , n) = t.(AB)
Onde "t" é um escalar (um numero como 0.8 ou 3, por exemplo).

Assim sendo podemos calcular "n".
AB = B - A = (3-1 , 1 + 5) = (2 , 6)
Substituindo:
(1/3 , n) = t. (2 , 6)

Montamos um sistema:
1/3 = 2t
n = 6t
Resolvendo teremos n = 3 * (1/3) = 1.

Agora para achar "m" podemos fazer de algumas formas diferentes, vou fazer da forma que acho mais simples.
Temos e equação vetorial (agora com n=1) dada por:
(x , y) = (−1/3 , −m) + k.(1/3 , 1)

Sabemos que, na formulação da eq. vetorial, (-1/3 , -m) representa um ponto na reta.
Sabemos também que A e B são pontos da mesma reta, logo podemos substituir B (ou A) na equação da reta.

B = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

(3 , 1) = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

Montando um sistema:
3 = -1/3 + k.(1/3)
1 = -m + k

k = (3+1/3)/(1/3)
k = 10

1 = -m + 10
-m = -9
m = 9


2)
Semelhante ao primeiro.
V = (0 , 5)
V = t . (b , 2)

Montando o sistema:
0 = t.b
5 = 2t
t = 2.5 -> b = 0

Substituindo na eq. da reta o ponto dado e o valor de "b":
(-2 , 4) = (a , -7) + k.(0 , 2)

-2 = a + 0 . k
a = -2

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D