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AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Raquel Botura » Sex Nov 09, 2018 11:19

[EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DA RETA NO PLANO]

Bom dia, gostaria de ajuda em Vetor diretor de uma reta NO PLANO e com a equação vetorial/paramétrica. Estou estudando para um exame de Portugal e neste caso, cobram essa matéria lá, e no Brasil, é encaixada no ensino superior.

A matéria em si eu entendi, porém to com dúvida nos exercícios cobrados e visto que quando busco vídeo aulas etc só encontro as equações usando o vetor no espaço (xo,yo,zo), enquanto nesse caso estão pedindo (xo,yo).

"A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(1,−5) e B(3,1) é
(x,y)=(−1/3,−m)+k(1/3,n)∧ k∈R, em que:

ai é pedido o valor de m e n, sendo o gabarito m=9; n=1"

E outro bem similar mas ao invés de 2 pontos, é dado um ponto e o vetor diretor.
"Uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto (−2,4) é paralela ao vetor (0,5) é
(x,y)=(a,−7)+k(b,2)∧k∈R, em que:

sendo O gabarito a=-2; b=0"
Nesses exercícios eu não entendo como achar esses valores, no primeiro exercício eu tentei substituir os valores na equação da reta que pode se achar utilizando os dois pontos dados, mas chutando, porque eu não acho que seja assim. Desculpa se estou pedindo muito, mas meu conhecimento sobre geometria analítica se limita a distância entre pontos, distância entre ponto e reta que é o que é cobrado aqui no Brasil. Se alguém puder me ajudar eu agradeço muito!

Obrigada, Raquel.
Raquel Botura
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Re: AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Gebe » Sex Nov 09, 2018 17:13

Fiz o desenho abaixo para facilitar a explicação.
vetores.png
vetores.png (8.11 KiB) Exibido 2411 vezes


No desenho temos o ponto A, o ponto B e o vetor diretor V.
Perceba que V em laranja é um vetor com mesma direção do segmento dado por AB (roxo), porém o modulo (tamanho) e a posição no plano cartesiano podem variar como sugere os vários vetores laranjas dispostos no desenho.

Assim sendo, a primeira coisa que devemos notar é que AB (roxo) tem a mesma direção que o vetor dado (1/3 , n). Não sabemos o tamanho desse vetor dado, mas sabemos que deve ser um pedacinho de AB ou um alongamento de AB.
Resumindo:
(1/3 , n) = t.(AB)
Onde "t" é um escalar (um numero como 0.8 ou 3, por exemplo).

Assim sendo podemos calcular "n".
AB = B - A = (3-1 , 1 + 5) = (2 , 6)
Substituindo:
(1/3 , n) = t. (2 , 6)

Montamos um sistema:
1/3 = 2t
n = 6t
Resolvendo teremos n = 3 * (1/3) = 1.

Agora para achar "m" podemos fazer de algumas formas diferentes, vou fazer da forma que acho mais simples.
Temos e equação vetorial (agora com n=1) dada por:
(x , y) = (−1/3 , −m) + k.(1/3 , 1)

Sabemos que, na formulação da eq. vetorial, (-1/3 , -m) representa um ponto na reta.
Sabemos também que A e B são pontos da mesma reta, logo podemos substituir B (ou A) na equação da reta.

B = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

(3 , 1) = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

Montando um sistema:
3 = -1/3 + k.(1/3)
1 = -m + k

k = (3+1/3)/(1/3)
k = 10

1 = -m + 10
-m = -9
m = 9


2)
Semelhante ao primeiro.
V = (0 , 5)
V = t . (b , 2)

Montando o sistema:
0 = t.b
5 = 2t
t = 2.5 -> b = 0

Substituindo na eq. da reta o ponto dado e o valor de "b":
(-2 , 4) = (a , -7) + k.(0 , 2)

-2 = a + 0 . k
a = -2

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?