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AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Raquel Botura » Sex Nov 09, 2018 11:19

[EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DA RETA NO PLANO]

Bom dia, gostaria de ajuda em Vetor diretor de uma reta NO PLANO e com a equação vetorial/paramétrica. Estou estudando para um exame de Portugal e neste caso, cobram essa matéria lá, e no Brasil, é encaixada no ensino superior.

A matéria em si eu entendi, porém to com dúvida nos exercícios cobrados e visto que quando busco vídeo aulas etc só encontro as equações usando o vetor no espaço (xo,yo,zo), enquanto nesse caso estão pedindo (xo,yo).

"A equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(1,−5) e B(3,1) é
(x,y)=(−1/3,−m)+k(1/3,n)∧ k∈R, em que:

ai é pedido o valor de m e n, sendo o gabarito m=9; n=1"

E outro bem similar mas ao invés de 2 pontos, é dado um ponto e o vetor diretor.
"Uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto (−2,4) é paralela ao vetor (0,5) é
(x,y)=(a,−7)+k(b,2)∧k∈R, em que:

sendo O gabarito a=-2; b=0"
Nesses exercícios eu não entendo como achar esses valores, no primeiro exercício eu tentei substituir os valores na equação da reta que pode se achar utilizando os dois pontos dados, mas chutando, porque eu não acho que seja assim. Desculpa se estou pedindo muito, mas meu conhecimento sobre geometria analítica se limita a distância entre pontos, distância entre ponto e reta que é o que é cobrado aqui no Brasil. Se alguém puder me ajudar eu agradeço muito!

Obrigada, Raquel.
Raquel Botura
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Re: AJUDA EQUAÇÃO VETORIAL/PARAMÉTRICA NO PLANO

Mensagempor Gebe » Sex Nov 09, 2018 17:13

Fiz o desenho abaixo para facilitar a explicação.
vetores.png
vetores.png (8.11 KiB) Exibido 481 vezes


No desenho temos o ponto A, o ponto B e o vetor diretor V.
Perceba que V em laranja é um vetor com mesma direção do segmento dado por AB (roxo), porém o modulo (tamanho) e a posição no plano cartesiano podem variar como sugere os vários vetores laranjas dispostos no desenho.

Assim sendo, a primeira coisa que devemos notar é que AB (roxo) tem a mesma direção que o vetor dado (1/3 , n). Não sabemos o tamanho desse vetor dado, mas sabemos que deve ser um pedacinho de AB ou um alongamento de AB.
Resumindo:
(1/3 , n) = t.(AB)
Onde "t" é um escalar (um numero como 0.8 ou 3, por exemplo).

Assim sendo podemos calcular "n".
AB = B - A = (3-1 , 1 + 5) = (2 , 6)
Substituindo:
(1/3 , n) = t. (2 , 6)

Montamos um sistema:
1/3 = 2t
n = 6t
Resolvendo teremos n = 3 * (1/3) = 1.

Agora para achar "m" podemos fazer de algumas formas diferentes, vou fazer da forma que acho mais simples.
Temos e equação vetorial (agora com n=1) dada por:
(x , y) = (−1/3 , −m) + k.(1/3 , 1)

Sabemos que, na formulação da eq. vetorial, (-1/3 , -m) representa um ponto na reta.
Sabemos também que A e B são pontos da mesma reta, logo podemos substituir B (ou A) na equação da reta.

B = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

(3 , 1) = (-1/3 , -m) + k.(1/3 , 1)

Montando um sistema:
3 = -1/3 + k.(1/3)
1 = -m + k

k = (3+1/3)/(1/3)
k = 10

1 = -m + 10
-m = -9
m = 9


2)
Semelhante ao primeiro.
V = (0 , 5)
V = t . (b , 2)

Montando o sistema:
0 = t.b
5 = 2t
t = 2.5 -> b = 0

Substituindo na eq. da reta o ponto dado e o valor de "b":
(-2 , 4) = (a , -7) + k.(0 , 2)

-2 = a + 0 . k
a = -2

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.
Gebe
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}