Ajuda Matemática

Galera, teria como me ajudar nessa questão? Não consigo chegar na resposta de jeito nenhum, e se alguém puder auxiliar no esboço do gráfico ficaria muito grato.

Dada a superfície de revolução abaixo, pede-se:

a) encontre seu centro C; Resposta: C(3, -1, -4)
b) Identifique o seu eixo; Resposta: Eixo paralelo a Oy
c) Descreve e esboce seu gráfico; Resposta: Hiperbolóide de uma folha

4x² - 2y² + z² - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Bibliografia: Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle :-O

Nos foi dado:

4x^2 - 2y^2 + z^2 - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Note o seguinte:

4x^2-24x=4(x^2-6x)=4(x-3)^2-36

E substituímos isso na equação:

4(x-3)^2-36-2(y+1)^2+2+(z+4)^2-16+42=0

E agora mudamos o referencial do seguinte modo:

y_1=x-3

Nisso, transladamos a origem de O(0,0,0) para o ponto O'(3,-1,-4), e isso responde ao item a.

Além disso, note que apenas transladamos a origem e a quádrica, sem rotacioná-la, então seu eixo permanecerá o mesmo. Cabe descobrirmos qual.

4y_1^2-2y_2^2+y_3^2=8

$\frac{y_1^2}{2}-\frac{y_2^2}{4}+\frac{y_3^2}{8}=1$

Note que essa figura é um hiperboloide de uma folha(Termos ao quadrado, apenas uma diferença, igualado a 1), e num plano x constante, temos uma hipérbole, num plano y constante, uma elipse e no plano z constante temos outra hipérbole, então, seu eixo é paralelo ao eixo y, onde estão as elipses(Note que é onde está o maior denominador). O eixo seria a reta definida pelo ponto do centro já calculado e o vetor $\vec{k}$ (O vetor pode mudar dependendo de onde você coloca cada eixo x, y e z e os vetores i, j, k).
Com isso, temos informações o suficiente para definir esse gráfico.

Espero ter ajudado!

A propósito, o gráfico pode ser visualizado aqui

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+4x%C2%B2+-+2y%C2%B2+%2B+z%C2%B2+-+24x+-+4y+%2B8z+%2B+42+%3D+0

Lembre-se do centro, eixo e o gráfico sai :y:

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[Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

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