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[Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

[Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor estudantemath » Sáb Fev 11, 2017 14:03

Galera, teria como me ajudar nessa questão? Não consigo chegar na resposta de jeito nenhum, e se alguém puder auxiliar no esboço do gráfico ficaria muito grato.

Dada a superfície de revolução abaixo, pede-se:

a) encontre seu centro C; Resposta: C(3, -1, -4)
b) Identifique o seu eixo; Resposta: Eixo paralelo a Oy
c) Descreve e esboce seu gráfico; Resposta: Hiperbolóide de uma folha

4x² - 2y² + z² - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Bibliografia: Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle :-O
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Re: [Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor GFerraz » Seg Abr 24, 2017 20:21

Nos foi dado:

4x^2 - 2y^2 + z^2 - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Note o seguinte:

4x^2-24x=4(x^2-6x)=4(x-3)^2-36
-2y^2-4y=-2(y^2+2y)=-2(y+1)^2+2
z^2+8z=(z+4)^2-16

E substituímos isso na equação:

4(x-3)^2-36-2(y+1)^2+2+(z+4)^2-16+42=0

4(x-3)^2-2(y+1)^2+(z+4)^2-8=0

E agora mudamos o referencial do seguinte modo:

y_1=x-3
y_2=y+1
z_2=z+4

Nisso, transladamos a origem de O(0,0,0) para o ponto O'(3,-1,-4), e isso responde ao item a.

Além disso, note que apenas transladamos a origem e a quádrica, sem rotacioná-la, então seu eixo permanecerá o mesmo. Cabe descobrirmos qual.

4y_1^2-2y_2^2+y_3^2=8

\frac{y_1^2}{2}-\frac{y_2^2}{4}+\frac{y_3^2}{8}=1

Note que essa figura é um hiperboloide de uma folha(Termos ao quadrado, apenas uma diferença, igualado a 1), e num plano x constante, temos uma hipérbole, num plano y constante, uma elipse e no plano z constante temos outra hipérbole, então, seu eixo é paralelo ao eixo y, onde estão as elipses(Note que é onde está o maior denominador). O eixo seria a reta definida pelo ponto do centro já calculado e o vetor\vec{k} (O vetor pode mudar dependendo de onde você coloca cada eixo x, y e z e os vetores i, j, k).
Com isso, temos informações o suficiente para definir esse gráfico.

Espero ter ajudado!
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Re: [Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor GFerraz » Seg Abr 24, 2017 20:24

A propósito, o gráfico pode ser visualizado aqui

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+4x%C2%B2+-+2y%C2%B2+%2B+z%C2%B2+-+24x+-+4y+%2B8z+%2B+42+%3D+0

Lembre-se do centro, eixo e o gráfico sai :y:
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.