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[Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

[Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor estudantemath » Sáb Fev 11, 2017 14:03

Galera, teria como me ajudar nessa questão? Não consigo chegar na resposta de jeito nenhum, e se alguém puder auxiliar no esboço do gráfico ficaria muito grato.

Dada a superfície de revolução abaixo, pede-se:

a) encontre seu centro C; Resposta: C(3, -1, -4)
b) Identifique o seu eixo; Resposta: Eixo paralelo a Oy
c) Descreve e esboce seu gráfico; Resposta: Hiperbolóide de uma folha

4x² - 2y² + z² - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Bibliografia: Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle :-O
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Re: [Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor GFerraz » Seg Abr 24, 2017 20:21

Nos foi dado:

4x^2 - 2y^2 + z^2 - 24x - 4y +8z + 42 = 0

Note o seguinte:

4x^2-24x=4(x^2-6x)=4(x-3)^2-36
-2y^2-4y=-2(y^2+2y)=-2(y+1)^2+2
z^2+8z=(z+4)^2-16

E substituímos isso na equação:

4(x-3)^2-36-2(y+1)^2+2+(z+4)^2-16+42=0

4(x-3)^2-2(y+1)^2+(z+4)^2-8=0

E agora mudamos o referencial do seguinte modo:

y_1=x-3
y_2=y+1
z_2=z+4

Nisso, transladamos a origem de O(0,0,0) para o ponto O'(3,-1,-4), e isso responde ao item a.

Além disso, note que apenas transladamos a origem e a quádrica, sem rotacioná-la, então seu eixo permanecerá o mesmo. Cabe descobrirmos qual.

4y_1^2-2y_2^2+y_3^2=8

\frac{y_1^2}{2}-\frac{y_2^2}{4}+\frac{y_3^2}{8}=1

Note que essa figura é um hiperboloide de uma folha(Termos ao quadrado, apenas uma diferença, igualado a 1), e num plano x constante, temos uma hipérbole, num plano y constante, uma elipse e no plano z constante temos outra hipérbole, então, seu eixo é paralelo ao eixo y, onde estão as elipses(Note que é onde está o maior denominador). O eixo seria a reta definida pelo ponto do centro já calculado e o vetor\vec{k} (O vetor pode mudar dependendo de onde você coloca cada eixo x, y e z e os vetores i, j, k).
Com isso, temos informações o suficiente para definir esse gráfico.

Espero ter ajudado!
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Re: [Superfícies Quádricas] Hiperbolóide de uma folha

Mensagempor GFerraz » Seg Abr 24, 2017 20:24

A propósito, o gráfico pode ser visualizado aqui

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+4x%C2%B2+-+2y%C2%B2+%2B+z%C2%B2+-+24x+-+4y+%2B8z+%2B+42+%3D+0

Lembre-se do centro, eixo e o gráfico sai :y:
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}