[Geometria Analítica] Provar propriedades dos quadriláteros

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[Geometria Analítica] Provar propriedades dos quadriláteros

Mensagempor ASilvestre » Qua Ago 24, 2016 21:11

Olá. A questão que eu tenho tentado resolver é a seguinte:

Sejam ABDC um quadrilátero de vértices A, B, C e D e M, N, P e Q os pontos médios dos lados AB, BD, AC e CD, respectivamente.
(a) Prove que ? \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}

(b) Prove que ? \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}

(c) Prove que MNQP é um paralelogramo.


Se eu assumir que ABDC é quadrado ou retângulo, eu consigo ver que uma diagonal entre seus pontos médios teria a metade do tamanho de uma de suas digonais principais, como por exemplo, no quadrado, Diagonal = l\sqrt{2} e se usar os pontos médios como vértices dos lados, teremos lados com metade do tamanho dos anteriores, com as diagonais dependendo multiplicativamente do lado, um lado com metade do tamanho geraria uma diagonal com metade do tamanho.
Entretanto, como eu consigo provar estas 3 afirmativas uma vez que eu nem sei se o quadrilátero ABDC é convexo ou côncavo?

Agradeço pela ajuda.
ASilvestre
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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