[Geometria Analítica] Provar propriedades dos quadriláteros

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[Geometria Analítica] Provar propriedades dos quadriláteros

Mensagempor ASilvestre » Qua Ago 24, 2016 21:11

Olá. A questão que eu tenho tentado resolver é a seguinte:

Sejam ABDC um quadrilátero de vértices A, B, C e D e M, N, P e Q os pontos médios dos lados AB, BD, AC e CD, respectivamente.
(a) Prove que ? \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}

(b) Prove que ? \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}

(c) Prove que MNQP é um paralelogramo.


Se eu assumir que ABDC é quadrado ou retângulo, eu consigo ver que uma diagonal entre seus pontos médios teria a metade do tamanho de uma de suas digonais principais, como por exemplo, no quadrado, Diagonal = l\sqrt{2} e se usar os pontos médios como vértices dos lados, teremos lados com metade do tamanho dos anteriores, com as diagonais dependendo multiplicativamente do lado, um lado com metade do tamanho geraria uma diagonal com metade do tamanho.
Entretanto, como eu consigo provar estas 3 afirmativas uma vez que eu nem sei se o quadrilátero ABDC é convexo ou côncavo?

Agradeço pela ajuda.
ASilvestre
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?

Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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