UESB 2012 Geometria analítica

[Garibaldi]

No projeto para a expansão do sistema viário de uma cidade do sudoeste da Bahia, um arquiteto representou, em um plano cartesiano, um anel rodoviário pela equação x^{2} + y^{2} ? 6x ? 6y + 13 = 0 e uma estrada pela equação 2x ? y + k = 0.
Assim, o número de valores inteiros que k pode assumir, de modo que a estrada e o anel possuam duas interseções distintas, é

01) 9
02) 8
03) 7
04) 6
05) 5

Resp.:9

Obrigado pela ajuda!

[DanielFerreira]

Olá Garibaldi, boa noite!!

Para encontrar as intersecções devemos resolver o sistema formado pelas equações fornecidas no enunciado, veja:

Equação I: x² + y² - 6x - 6y + 13 = 0

Completemos os quadrados,

(x² - 6x) + (y² - 6y) + 13 = 0
(x - 3)² - 9 + (y - 3)² - 9 + 13 = 0
(x - 3)² + (y - 3)² = 5

Equação II: 2x - y + k = 0 ==> y = 2x + k

Substituindo-a na equação I, teremos:

(x - 3)² + (2x + k - 3)² = 5
x² - 6x + 9 + (4x² + k² + 9 + 4kx - 12x - 6k) - 5 = 0
5x² + (4k - 18)x + (k² - 6k + 13) = 0

A equação acima terá raízes reais e distintas se o discriminante for maior que zero. Daí, segue que:

{Delta} = (4k - 18)² - 20(k² - 6k + 13)
{Delta} = 16k² - 144k + 324 - 20k² + 120k - 260
{Delta} = - 4k² - 24k + 64

Mas, {Delta} > 0; ou seja,

- 4k² - 24k + 64 > 0
k² + 6k - 16 < 0
(k + 8)(k - 2) < 0

Estudando o sinal da inequação do 2º grau acima:

____-____(- 8)____+______(+ 2)____-_____

Concluímos que S = {x E R | - 8 < x < 2}. Isto é, S = {- 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}.

Espero ter ajudado!