UESB 2012 Geometria analítica
Enviado:
Ter Dez 01, 2015 18:40
por Garibaldi
No projeto para a expansão do sistema viário de uma cidade do sudoeste da Bahia, um arquiteto representou, em um plano cartesiano, um anel rodoviário pela equação x^{2} + y^{2} ? 6x ? 6y + 13 = 0 e uma estrada pela equação 2x ? y + k = 0.
Assim, o número de valores inteiros que k pode assumir, de modo que a estrada e o anel possuam duas interseções distintas, é
01) 9
02) 8
03) 7
04) 6
05) 5
Resp.:9
Obrigado pela ajuda!
Re: UESB 2012 Geometria analítica
Enviado:
Dom Jan 31, 2016 21:02
por DanielFerreira
Olá Garibaldi, boa noite!!
Para encontrar as intersecções devemos resolver o sistema formado pelas equações fornecidas no enunciado, veja:
Equação I: x² + y² - 6x - 6y + 13 = 0
Completemos os quadrados,
(x² - 6x) + (y² - 6y) + 13 = 0
(x - 3)² - 9 + (y - 3)² - 9 + 13 = 0
(x - 3)² + (y - 3)² = 5
Equação II: 2x - y + k = 0 ==> y = 2x + k
Substituindo-a na equação I, teremos:
(x - 3)² + (2x + k - 3)² = 5
x² - 6x + 9 + (4x² + k² + 9 + 4kx - 12x - 6k) - 5 = 0
5x² + (4k - 18)x + (k² - 6k + 13) = 0
A equação acima terá raízes reais e distintas se o discriminante for maior que zero. Daí, segue que:
{Delta} = (4k - 18)² - 20(k² - 6k + 13)
{Delta} = 16k² - 144k + 324 - 20k² + 120k - 260
{Delta} = - 4k² - 24k + 64
Mas, {Delta} > 0; ou seja,
- 4k² - 24k + 64 > 0
k² + 6k - 16 < 0
(k + 8)(k - 2) < 0
Estudando o sinal da inequação do 2º grau acima:
____-____(- 8)____+______(+ 2)____-_____
Concluímos que S = {x E R | - 8 < x < 2}. Isto é, S = {- 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1}.
Espero ter ajudado!