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Circunferência, conjunto de pontos representados geometricam

Circunferência, conjunto de pontos representados geometricam

Mensagempor elisamaria » Seg Jul 06, 2015 20:13

O conjunto dos pontos (x,y) do plano, que satisfazem a equação 4x² + 4y² - 8x - 8y + 7 = 0, pode ser representado , geometricamente, por:

Gabarito na figura.

Preciso saber qual a figura correta e por que. Não encontro a resolução em lugar nenhum e todas as respostas vêm dizendo os valores de x e y ao final mas NÃO indicam qual a figura, e não explicam por que. O gabarito é B mas não encontro a resposta de jeito nenhum!
Anexos
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Re: Circunferência, conjunto de pontos representados geometr

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 15:36

A equação da circunferência dada foi:

4x^2 + 4y^2 - 8x - 8y + 7 = 0 \;\;\;\;\; [1]

Da forma em que se encontra esta equação, não podemos "enxergar" onde está o centro e nem seu raio. A forma tradicional para representar uma circunferência é:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \;\;\;\;\;\; [2]

Estando desta forma, ficaria fácil de enxergarmos que o centro está em (a, b) e o raio é "r"! [2a]

Então, precisamos reescrever a equação [1] no formato [2] em primeiro lugar. Vamos fazer isso. Para iniciar, vamos reordenar a equação.

4x^2 + 4y^2 - 8x - 8y + 7 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 8x + 4y^2 - 8y + 7 = 0 \;\;\;\; [3]

Repare que:

(ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2 \;\;\;\;\;\; [4]

e

(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2

Note também que em [3]:

4x^2 - 8x + \square \;\;\;\;\;\; [5]

se parece muito com [4]. Veja que a raiz quadrada de 4 é 2 (em 4x^2). Vaos fazr a = 2 em [4] e ver como as duas expressões ficam, ou seja, vamos ver quanto se parecem a [4] e a [5] - Vou colocar elas lado a lado):

4x^2 - 8x + \square \;\;\;\;  e \;\;\;\; (ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2 \Rightarrow (2 x - b)^2 = 2^2x^2 - 2 \times  2bx + b^2

4x^2 - 8x + \square \;\;\;\;  e \;\;\;\; (2x - b)^2 = 4x^2 - 4bx + b^2

Daí, vemos que b somente pode valer 2 para dar 8. Trocando b acima por 2 ficaremos com:

4x^2 - 8x + \square \;\;\;\;  e \;\;\;\; (2x - 2)^2 = 4x^2 - 8x + 4

Logo, o quadrado em branco que está do lado esquerdo poderia ser trocado por 4 para que possamos transformá-lo no formato (2x - 2)^2. Mas não podemos simplesmente somar 4 em

4x^2 - 8x + \square

pois o resultado aumentaria em 4! Temos que adicionar este 4 sem alterar o resultado final. Assim, vamos somar 4 e diminuir 4 para não alterar nada na equação que temos. Pegando a equação original [3] e aumentando e diminuindo de 4 teremos:

4x^2 - 8x \textbf{+ 4 - 4} + 4y^2 - 8y + 7 = 0

Veja que ao somar e diminuir quatro, estamos adicionando ZERO, ou seja, não estamos alterando a equação original. Agora, podemos fazer:

4x^2 - 8x + 4 = (2x - 2)^2

ficando com:

(2x - 2)^2 - 4 + 4y^2 - 8y + 7 = 0

Fazendo a mesma coisa agora com 4y^2 - 8y + \square obteremos identicamente:

(2y - 2)^2 = 4y^2 - 8y + 4

Portanto, precisaremos somar e diminuir 4 também ficando com:

(2x - 2)^2 - 4 + 4y^2 - 8y + \textbf{4 - 4} + 7 = 0

(2x - 2)^2 - 4 + (2y -2)^2 - 4 + 7 = 0

Agora que completamos os quadrados em x e em y, precisamos somente terminar as continhas que sobraram, ficando com:

(2x - 2)^2 + (2y -2)^2  -1 = 0

(2x - 2)^2 + (2y -2)^2  = 1

Repare que ainda o formato mostrado em [2] não foi obtido. Repare também que 2x - 2 = 2(x - 1) e que 2y - 2 = 2(y - 1), então vamos trocar o que está dentro dos parênteses por esses valores:

[2(x - 1)]^2 + [2(y - 1)]^2  = 1

Tirando o 2 de dentro dos colchetes para fora dele, teremos:

4(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2  = 1

Dividindo-se os dois lados da equação por 4, ficaremos com:

\frac{4(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2}{4}  = \frac{1}{4}

\frac{4(x - 1)^2}{4} + \frac{4(y - 1)^2}{4}  = \frac{1}{4}

(x - 1)^2 + (y - 1)^2  = \frac{1}{4}

Finalmente, como o lado direito deve estar elevado ao quadrado (Veja [2] acima), precisamos ainda tirar a raiz quadrada do lado direito da equação e elevá-lo ao quadrado. Assim:

(x - 1)^2 + (y - 1)^2  = \left(\frac{1}{2} \right)^2 \;\;\;\;\; [6]


Agora que temos a equação da circunferência no formato padrão, podemos facilmente visualizar as coordenadas do seu centro e seu raio. No caso em questão, o centro fica em (1, 1) e o raio vale r = 1/2! - Veja a observação [2a] acima por favor.

Como o raio é menor que a distância da abscissa ao raio e da ordenada ao raio, existe um espaço entre a abscissa e a circunferência e da ordenada à circunferência. A única circunferência com essas características é a B. Portanto, a respota é B.

\blacksquare
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D