Circunferência, conjunto de pontos representados geometricam

por **elisamaria** » Seg Jul 06, 2015 20:13

O conjunto dos pontos (x,y) do plano, que satisfazem a equação 4x² + 4y² - 8x - 8y + 7 = 0, pode ser representado , geometricamente, por:

Gabarito na figura.

Preciso saber qual a figura correta e por que. Não encontro a resolução em lugar nenhum e todas as respostas vêm dizendo os valores de x e y ao final mas NÃO indicam qual a figura, e não explicam por que. O gabarito é B mas não encontro a resposta de jeito nenhum!

por **nakagumahissao** » Qua Ago 19, 2015 15:36

A equação da circunferência dada foi:

$4x^2 + 4y^2 - 8x - 8y + 7 = 0 \;\;\;\;\; [1]$

Da forma em que se encontra esta equação, não podemos "enxergar" onde está o centro e nem seu raio. A forma tradicional para representar uma circunferência é:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \;\;\;\;\;\; [2]$

Estando desta forma, ficaria fácil de enxergarmos que o centro está em (a, b) e o raio é "r"! [2a]

Então, precisamos reescrever a equação [1] no formato [2] em primeiro lugar. Vamos fazer isso. Para iniciar, vamos reordenar a equação.

$4x^2 + 4y^2 - 8x - 8y + 7 = 0 \Rightarrow 4x^2 - 8x + 4y^2 - 8y + 7 = 0 \;\;\;\; [3]$

Repare que:

$(ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2 \;\;\;\;\;\; [4]$

e

(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2

Note também que em [3]:

$4x^2 - 8x + \square \;\;\;\;\;\; [5]$

se parece muito com [4]. Veja que a raiz quadrada de 4 é 2 (em 4x^2

). Vaos fazr a = 2 em [4] e ver como as duas expressões ficam, ou seja, vamos ver quanto se parecem a [4] e a [5] - Vou colocar elas lado a lado):

$4x^2 - 8x + \square \;\;\;\; e \;\;\;\; (ax - b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2 \Rightarrow (2 x - b)^2 = 2^2x^2 - 2 \times 2bx + b^2$

$4x^2 - 8x + \square \;\;\;\; e \;\;\;\; (2x - b)^2 = 4x^2 - 4bx + b^2$

Daí, vemos que b somente pode valer 2 para dar 8. Trocando b acima por 2 ficaremos com:

$4x^2 - 8x + \square \;\;\;\; e \;\;\;\; (2x - 2)^2 = 4x^2 - 8x + 4$

Logo, o quadrado em branco que está do lado esquerdo poderia ser trocado por 4 para que possamos transformá-lo no formato

. Mas não podemos simplesmente somar 4 em

$4x^2 - 8x + \square$

pois o resultado aumentaria em 4! Temos que adicionar este 4 sem alterar o resultado final. Assim, vamos somar 4 e diminuir 4 para não alterar nada na equação que temos. Pegando a equação original [3] e aumentando e diminuindo de 4 teremos:

$4x^2 - 8x \textbf{+ 4 - 4} + 4y^2 - 8y + 7 = 0$

Veja que ao somar e diminuir quatro, estamos adicionando ZERO, ou seja, não estamos alterando a equação original. Agora, podemos fazer:

4x^2 - 8x + 4 = (2x - 2)^2

ficando com:

(2x - 2)^2 - 4 + 4y^2 - 8y + 7 = 0

Fazendo a mesma coisa agora com $4y^2 - 8y + \square$ obteremos identicamente:

(2y - 2)^2 = 4y^2 - 8y + 4

Portanto, precisaremos somar e diminuir 4 também ficando com:

$(2x - 2)^2 - 4 + 4y^2 - 8y + \textbf{4 - 4} + 7 = 0$

(2x - 2)^2 - 4 + (2y -2)^2 - 4 + 7 = 0

Agora que completamos os quadrados em x e em y, precisamos somente terminar as continhas que sobraram, ficando com:

(2x - 2)^2 + (2y -2)^2 -1 = 0

Repare que ainda o formato mostrado em [2] não foi obtido. Repare também que 2x - 2 = 2(x - 1) e que 2y - 2 = 2(y - 1), então vamos trocar o que está dentro dos parênteses por esses valores:

[2(x - 1)]^2 + [2(y - 1)]^2 = 1

Tirando o 2 de dentro dos colchetes para fora dele, teremos:

4(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 1

Dividindo-se os dois lados da equação por 4, ficaremos com:

$\frac{4(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2}{4} = \frac{1}{4}$

$\frac{4(x - 1)^2}{4} + \frac{4(y - 1)^2}{4} = \frac{1}{4}$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{1}{4}$

Finalmente, como o lado direito deve estar elevado ao quadrado (Veja [2] acima), precisamos ainda tirar a raiz quadrada do lado direito da equação e elevá-lo ao quadrado. Assim:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{1}{2} \right)^2 \;\;\;\;\; [6]$

Agora que temos a equação da circunferência no formato padrão, podemos facilmente visualizar as coordenadas do seu centro e seu raio. No caso em questão, o centro fica em (1, 1) e o raio vale r = 1/2! - Veja a observação [2a] acima por favor.

Como o raio é menor que a distância da abscissa ao raio e da ordenada ao raio, existe um espaço entre a abscissa e a circunferência e da ordenada à circunferência. A única circunferência com essas características é a B. Portanto, a respota é B.

$\blacksquare$