Circunferência, conjunto de pontos representados geometricam

[elisamaria]

O conjunto dos pontos (x,y) do plano, que satisfazem a equação 4x² + 4y² - 8x - 8y + 7 = 0, pode ser representado , geometricamente, por:

Gabarito na figura.

Preciso saber qual a figura correta e por que. Não encontro a resolução em lugar nenhum e todas as respostas vêm dizendo os valores de x e y ao final mas NÃO indicam qual a figura, e não explicam por que. O gabarito é B mas não encontro a resposta de jeito nenhum!

[nakagumahissao]

A equação da circunferência dada foi:



Da forma em que se encontra esta equação, não podemos "enxergar" onde está o centro e nem seu raio. A forma tradicional para representar uma circunferência é:



Estando desta forma, ficaria fácil de enxergarmos que o centro está em (a, b) e o raio é "r"! [2a]

Então, precisamos reescrever a equação [1] no formato [2] em primeiro lugar. Vamos fazer isso. Para iniciar, vamos reordenar a equação.



Repare que:



e



Note também que em [3]:



se parece muito com [4]. Veja que a raiz quadrada de 4 é 2 (em ). Vaos fazr a = 2 em [4] e ver como as duas expressões ficam, ou seja, vamos ver quanto se parecem a [4] e a [5] - Vou colocar elas lado a lado):





Daí, vemos que b somente pode valer 2 para dar 8. Trocando b acima por 2 ficaremos com:



Logo, o quadrado em branco que está do lado esquerdo poderia ser trocado por 4 para que possamos transformá-lo no formato . Mas não podemos simplesmente somar 4 em



pois o resultado aumentaria em 4! Temos que adicionar este 4 sem alterar o resultado final. Assim, vamos somar 4 e diminuir 4 para não alterar nada na equação que temos. Pegando a equação original [3] e aumentando e diminuindo de 4 teremos:



Veja que ao somar e diminuir quatro, estamos adicionando ZERO, ou seja, não estamos alterando a equação original. Agora, podemos fazer:



ficando com:



Fazendo a mesma coisa agora com obteremos identicamente:



Portanto, precisaremos somar e diminuir 4 também ficando com:





Agora que completamos os quadrados em x e em y, precisamos somente terminar as continhas que sobraram, ficando com:





Repare que ainda o formato mostrado em [2] não foi obtido. Repare também que 2x - 2 = 2(x - 1) e que 2y - 2 = 2(y - 1), então vamos trocar o que está dentro dos parênteses por esses valores:



Tirando o 2 de dentro dos colchetes para fora dele, teremos:



Dividindo-se os dois lados da equação por 4, ficaremos com:







Finalmente, como o lado direito deve estar elevado ao quadrado (Veja [2] acima), precisamos ainda tirar a raiz quadrada do lado direito da equação e elevá-lo ao quadrado. Assim:




Agora que temos a equação da circunferência no formato padrão, podemos facilmente visualizar as coordenadas do seu centro e seu raio. No caso em questão, o centro fica em (1, 1) e o raio vale r = 1/2! - Veja a observação [2a] acima por favor.

Como o raio é menor que a distância da abscissa ao raio e da ordenada ao raio, existe um espaço entre a abscissa e a circunferência e da ordenada à circunferência. A única circunferência com essas características é a B. Portanto, a respota é B.