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Geometria Analitica ( Vetor)

Geometria Analitica ( Vetor)

Mensagempor raf » Qui Jun 11, 2015 03:46

Estou com duvida na resolução desse exercicio:
Dados os vetores u= (1, -3, -1), v= (3, 2, -1), w= (-1, 1, 3) e a= (k+1, 2k, -3k). Determine k de modo que [(u + v) x (w - v)] x a= 4

Minha resolução:
[((1,-3,-1)+(3,2,-1)) x ((-1,1,3)-(3,2,1))] x (k+1,2k,-3k) = 4
[(4,-1,-2) x (-4,-1,2)] x (k+1,2k,-3k) = 4
(-16,1,-4) x (k+1,2k,-3k) = 4
-16k-16+2k+12k = 4
-2k-16 = 4
-2k = 16+4
k = 10
raf
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Re: Geometria Analitica ( Vetor)

Mensagempor nakagumahissao » Sex Jun 12, 2015 15:37

raf,


Na sua resulução você multiplicou os vetores usando o PRODUTO ESCALAR. Porém, o que está sendo pedido é um PRODUTO VETORIAL e o mesmo deverá ser resolvido da seguinte maneira:

Dados os vetores u= (1, -3, -1), v= (3, 2, -1), w= (-1, 1, 3) e a= (k+1, 2k, -3k). Determine k de modo que [(u + v) x (w - v)] x a= 4

u + v = (1, -3, -1) + (3, 2, -1) = (1 + 3, -3 + 2, -1 -1) = (4, -1, -2)
w - v = (-1, 1, 3) - (3, 2, -1) = (-1 -3, 1 -2, 3 + 1) = (-4, -1, 4)

o Produto vetorial de (u + v) x (w - v) deverá ser:

(u + v) \times (w - v) = \begin{vmatrix}
   i & j & k  \\ 
   4 & -1 & -2 \\
   -4 & -1 & 4 
\end{vmatrix} = i(-4 -2) - j(16 -8) + k(-4 - 4)

(u + v) \times (w - v) = -6i -8j -8k

Seja a= (p+1, 2p, -3p), onde p = k para que não existam confusões entre a variável k sendo procurada e o vetor k no determinante abaixo e ainda levando em consideração que o enunciado do problema esteja plenamente correto, teremos:

[(u + v) \times (w - v)] \times  a = 
\begin{vmatrix}
   i  & j  & k \\ 
   -6 & -8 & -8 \\
   p+1 & 2p & -3p 
\end{vmatrix} =

= i(24p + 16p) -j(18p + 8p + 8) + k(-12p + 8p + 8) =

= (40p)i - (26p + 8)j + (-4p + 8)k

Novamente, considerando que o enunciado do problema esteja plenamente correto e levando em consideração que [(u + v) x (w - v)] x a= 4 onde o valor 4 é um valor escalar, suponho que a igualdade se dá através do cálculo do modúlo do vetor resultante do cálculo à esquerda da equação. Sendo assim:

\left| ((40p), - (26p + 8), (-4p + 8)) \right| = 4

Calculando este módulo:

\sqrt[]{1600p^2 + 676p^2  + 256p + 64 + 16p^2 - 64p + 64 } = 4

2292 p^2 + 64 p + 112 = 0

Resolvendo esta equação, teremos:

p = k =−0.0139661605584642234+0.22061435382981476i
p = k =−0.013961605584642234−0.22061435382981476i

Acredito que para um exercício, este resultado é muito estranho. Poderia verificar se o enunciado que passou está realmente correto por favor? Principalmente na parte:

[(u + v) x (w - v)] x a= 4

Em algum lugar nesta equação não seria um Ponto (.) representando o produto escalar em vez do sinal de Vezes (Produto vetorial)?
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}