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por Jamilly » Ter Mar 16, 2010 10:12
Bom dia!!
Estou estudando para um concurso e me deparei com uma questão que me deixou em dúvida! Espero que possam me ajudar!
A questão é a seguinte:
Resolva a seguinte inequação em R (reais) e responda na forma de intervalo:
1/x²-1 < 1/x³-1 (1 sobre x²-1 menor que 1 sobre x³-1)Minha resolução:
Eu passei a parte igualada para o lado esquerdo e ficou assim:
1/x²-1 - (1/x³-1) < 0Tirando o mmc:
x³-1 - (x²-1)/ (x²-1)(x³-1)< 0Simplificando:
x³-x² / (x²-1)(x³-1)< 0Decompus o denominador e o primeiro termo do numerador:
x²(x-1) / (x+1)(x-1)(x³-1)< 0Anulei (x-1) embaixo e em cima:
x² / (x+1)(x³-1)< 0Eu fiz o quadro de sinais e a resposta na forma de intervalo ficou:
[0,1]Mas acho que está errado, devo ter errado algo na resolução.
Peço que me ajudem.
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Jamilly
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por MarceloFantini » Ter Mar 16, 2010 22:57
Boa noite.
Vou multiplicar os dois lados por
:
Multiplicando os dois lados por
:
Agora pelo gráfico fica fácil perceber. Estou sem meios pra fazer um, mas se fizer perceberá que a condição é satisfeita apenas para
e
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Futuro MATEMÁTICO
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por Elcioschin » Ter Mar 16, 2010 23:14
Vou continuar e corrigir os cálculos de Jamilly:
1/(x² - 1) < 1/(x³ - 1)
1/(x² - 1) - 1/(x³ - 1) < 0 ----> Fatorando:
1/(x + 1)*(x - 1) - 1/(x - 1)*(x² + x + 1) < 0 ----> MMC = (x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1):
[(x² + x + 1) - (x + 1)]/ (x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1) < 0
x²/(x + 1)*(x - 1)*(x² + x + 1) < 0 ----> x² é sempre positivo e (x² + x + 1) também (concavidade p/cima e delta < 0)
Logo o sinal depende apenas de (x + 1)*(x - 1) ----> Parábola c/concavidade p/ cima ----> -1 < x < + 1
Temos, entretanto, uma restrição ----> X <> 0
Solução final: -1 < x < 0 e 0 < x < +1
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por MarceloFantini » Ter Mar 16, 2010 23:29
Elcio, então qual seria o meu erro? E não entendi que a sua restrição. É
ou
?
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por Elcioschin » Qua Mar 17, 2010 13:26
Fantini
a) O erro cometido foi multiplicar os dois membros por (x² - 1) devido ao seguinte:
1) Se (x² - 1) > 0 não há nenhum problema na multiplicação.
2) Se (x² - 1) < 0 ao se multiplicar o sinal da inequação deveria ter sido invertido.
Logo, esta multiplicação implica em resultados falsos.
b) x < > 0 significa "x diferente de zero".
Usei esta convenção para não ter o trabalho de escrever o símbolo de "diferente de" no LaTeX
Editado pela última vez por
Elcioschin em Qua Mar 17, 2010 20:52, em um total de 1 vez.
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por Jamilly » Qua Mar 17, 2010 20:24
Obrigada pela ajuda!
Vou tentar resolver e depois responda se tiver conseguido!!
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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