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[GA] Projeção

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Mensagempor Larissa28 » Sáb Abr 04, 2015 15:58

Considere os vetores
a: i + 3j + 2k
b: 2i - j + k
c: i - 2j
Seja 'pi' um plano paralelo aos vetores b e c e 'r' uma reta perpendicular ao plano 'pi'. Ache a projeção ortogonal do vetor a sobre a reta r.
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor adauto martins » Sáb Abr 04, 2015 16:29

r paralelo ao vetor bXc...
bXc=
\begin{vmatrix}
   i & j & k \\
   2 & -1 & 1 \\

   1 & -2 & 0
   \end{vmatrix}=j-4k-(-k-2i)=2i+j+3k=v
a proj. do vetor a em v,eh dado por a.{u}_{v}...
(1,3,2).(2/14,1/14,3/14)=2/14+3/14+6/14=12/14=6/7...confira os calculos,em especial o determinante,pois erro muito em contas,mas o raciocinio eh esse...
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor Larissa28 » Sáb Abr 04, 2015 16:48

Mas a reta 'r' é perpendicular ao plano 'pi', então ela n pode ser paralela a b e c :s
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor adauto martins » Sáb Abr 04, 2015 16:57

o problema diz q. r eh perpendicular ao plano pi,onde estao os vetores b e c,pois estes sao paralelos ao plano pi...pediu-se a proj.ortogonal do vetor a sobre r,q. se calcula pelo produto interno,a saber a.{u}_{v}=\left|a \right|\left|u \right|cos(a,{u}_{v})\Rightarrow cos(a,u)=a.u/\left|a \right|...calcule ai,o cosseno e tera o angulo de proj....
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor Larissa28 » Sáb Abr 04, 2015 17:29

Continuo nao entendendo :S
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor DanielFerreira » Dom Abr 05, 2015 13:56

Larissa28 escreveu:Considere os vetores
a: i + 3j + 2k
b: 2i - j + k
c: i - 2j
Seja 'pi' um plano paralelo aos vetores b e c e 'r' uma reta perpendicular ao plano 'pi'. Ache a projeção ortogonal do vetor a sobre a reta r.


Uma vez que \vec{b} e \vec{c} são paralelos ao plano \pi, calculando o vetor ortogonal aos dois através do produto vetorial, temos que o vetor normal será perpendicular ao plano. Ora, se o vetor normal é perpendicular ao plano e a reta r é perpendicular ao plano, podemos concluir que o vetor normal do plano é paralelo ao vetor diretor de r.

Encontremos o vetor normal \vec{n}:

\\ \vec{b} \wedge \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & - 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 0 \end{vmatrix} \\\\\\ \vec{b} \wedge \vec{c} = \vec{j} - 4\vec{k} + \vec{k} +2\vec{i} \\\\ \boxed{\vec{b} \wedge \vec{c} = (2, 1, - 3)}


Com isso,

\\ \vec{v}_{r} = \vec{n}_{\pi} \cdot \lambda \\\\ \vec{v}_{r} = (2, 1, - 3) \cdot \lambda

Consideremos \lambda = - 1. Portanto, \vec{v}_{r} = (- 2, - 1, 3).


Por fim, calculamos a projeção de \vec{a} sobre a reta r.


\\ \text{Proj}_r(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}_r}{||\vec{v}_r||}\;\vec{v}_r \\\\\\ \text{Proj}_r(\vec{a}) = \frac{(1, 3, 2) \cdot (- 2, - 1, 3)}{\sqrt{4 + 1 + 9}}\;(- 2, - 1, 3) \\\\\\ \text{Proj}_r(\vec{a}) = \frac{- 2 - 3 + 6}{\sqrt{14}}\;(- 2, - 1, 3) \\\\\\ \text{Proj}_r(\vec{a}) = \frac{1}{\sqrt{14}}\;(- 2, - 1, 3) \\\\\\ \boxed{\text{Proj}_r(\vec{a}) = \left ( - \frac{2}{\sqrt{14}}, - \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right )}
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habilidade é saber como fazer;
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Re: [GA] Projeção

Mensagempor Larissa28 » Dom Abr 05, 2015 21:49

A sim, entendido (:
Obrigada!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D