[Geometria Analítica] Dependência Linear.

[Pessoa Estranha]

Olá. Gostaria que alguém resolvesse este exercício, pois tentei de diversas maneiras e várias vezes, mas não consegui resolvê-lo. Obrigada.

Questão: Determine m e n tais que (u,v) (sequência dos vetores u e v) seja linearmente dependente (LD), sendo u = (1, m, n+1) e v = (m, n, 10).

Tentei usar a Proposição que envolve determinantes, combinação linear, proporção, equação tal que a solução não seja a trivial, mas nada resolveu.

[Russman]

O vetor u tem de ser LD de v, é isso?

[Pessoa Estranha]

Na verdade é que a sequência de vetores u e v seja LD, ou seja, o conjunto formado por estes dois vetores é LD. Por exemplo: se uma sequência de vetores é LD, então estes vetores são paralelos, ou podemos dizer que há uma combinação linear entre eles, etc. Agora, se uma sequência de vetores é LI, então estes vetores não são paralelos, ou então podemos pensar que não há uma combinação entres eles, etc.

Acho que, de certa forma, o que você disse está correto, mas o que eu entendo por (u, v) LD é o que escrevi acima.

[Russman]

Sim, eu entendo o que significa um conjunto LI e LD. Só achei, de imediato, estranho o conjunto ter só dois elementos. Mas, sendo assim, deve existir um n° real tal que



Isto é



.

Da primeira linha podemos reescrever as duas outras como




de onde, substituindo a 1° na segunda,

.

A única solução real desta equação é , de modo que e . Sendo assim,


e
.

Bem verdade que .

Certo?

[Pessoa Estranha]

Olá. A resposta é essa mesmo! Muito bom! Mas, como você conseguiu resolver a equação do terceiro grau?! Nossa, estou pasma! Tentei diversas vezes e nada funcionou. Muito obrigada!

[Russman]

Bom, analisando a equação eu percebi que era solução. Aí, reduzi a equação para uma de 2° grau e está nao tem soluções reais. Logo, a única solução real é mesmo.

[Pessoa Estranha]

Para reduzir a equação ao segundo grau, você colocou o m em evidência?



ou, então

[Russman]

Não. A sua fatoração não lhe ajudará a resolver. Como m=2 é soluçào, então a equação ê divisível por (m-2). Tente fazer isso.

[Pessoa Estranha]

Ok. Valeu!