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[plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

[plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor Flordelis25 » Sex Ago 02, 2013 19:29

Oi pessoal (:
Bom já tentei achar o k, mas minha resposta não bate com a do gabarito que é 4 + 6?5

Na figura a seguir, os pontos A,B e C são colineares. Determine o valor de k sabendo que a área do triângulo BCD é 36.

A imagem do exercício está em anexo.


Obrigada (:
Anexos
g.jpg
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor e8group » Sex Ago 02, 2013 22:44

Analisando a figura anexada , não sei você observou , mas o segmento CD é perpendicular a BC e portanto constitui uma altura do triângulo retângulo ABC relativa a base BC . Designando d(C,D) a distância do ponto C até o ponto D , temos que a área deste triângulo retângulo (que é 36 unidades de área ) será dada por :

d(C,D) \cdot d(B,C) /2 =36(1) . E como determinar o ponto C ?

Te dou uma dica para concluir , os pontos A,B,C são colineares , então determinado a equação da reta pelos pontos A, B dados você determinar o ponto C .

Outra forma mais simples (ou talvez não ).

Seja \theta o ângulo entre o segmento BC e BD (note também que tal ângulo é a inclinação da reta que passa por A,B [/tex] ) . Por trigonometria ,

sin \theta = \frac{d(C,D)}{d(B,D)}  = \frac{d(C,D)}{\sqrt{(k-4)^2}} = \frac{d(C,D)}{k-4} .

Além disso ,

o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A,B é dado por :

tan\theta = \frac{0 -(-2)}{4-0} = \frac{1}{2} = \frac{sin\theta}{cos\theta}

Logo ,

cos\theta = 2 sin\theta

Elevando ambos membro ao quadrado e utilizando a identidade trigonométrica fundamental sin^2 \theta + cos^2 \theta =1 temos :

1 - sin^2\theta = 4 sin^2\theta

Resolvendo a eq. do segundo grau para sin\theta > 0 obteremos a distancia do ponto C a D que é :

(k-4) sin\theta = d(C,D)

e portanto pela equação (1) encontraremos k que satisfaça a igualdade ..Espero que ajude .
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor Flordelis25 » Sáb Ago 03, 2013 21:53

santhiago escreveu:Analisando a figura anexada , não sei você observou , mas o segmento CD é perpendicular a BC e portanto constitui uma altura do triângulo retângulo ABC relativa a base BC . Designando d(C,D) a distância do ponto C até o ponto D , temos que a área deste triângulo retângulo (que é 36 unidades de área ) será dada por :

d(C,D) \cdot d(B,C) /2 =36(1) . E como determinar o ponto C ?

Te dou uma dica para concluir , os pontos A,B,C são colineares , então determinado a equação da reta pelos pontos A, B dados você determinar o ponto C .

Outra forma mais simples (ou talvez não ).

Seja \theta o ângulo entre o segmento BC e BD (note também que tal ângulo é a inclinação da reta que passa por A,B [/tex] ) . Por trigonometria ,

sin \theta = \frac{d(C,D)}{d(B,D)}  = \frac{d(C,D)}{\sqrt{(k-4)^2}} = \frac{d(C,D)}{k-4} .

Além disso ,

o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A,B é dado por :

tan\theta = \frac{0 -(-2)}{4-0} = \frac{1}{2} = \frac{sin\theta}{cos\theta}

Logo ,

cos\theta = 2 sin\theta

Elevando ambos membro ao quadrado e utilizando a identidade trigonométrica fundamental sin^2 \theta + cos^2 \theta =1 temos :

1 - sin^2\theta = 4 sin^2\theta

Resolvendo a eq. do segundo grau para sin\theta > 0 obteremos a distancia do ponto C a D que é :

(k-4) sin\theta = d(C,D)

e portanto pela equação (1) encontraremos k que satisfaça a igualdade ..Espero que ajude .


Santhiago, seguinte. Fiz o que vc disse, usei o primeiro método, para mim o mais fácil. Utilizando os pontos A e B, por determinante achei a equação -x+2y+4=0.
O ponto C seria (1,-2)?

Tentei resolver por esse ponto, a distência d(C,D)=k+3 e d(B,C)= \sqrt[2]{29}. Está certo isso?

Obrigada pela ajuda :)
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor e8group » Sáb Ago 03, 2013 23:47

Avaliarei sua resposta a seguir .Entretanto vale ressaltar que há uma forma mais simples de resolver este exercício .Já notou que os triângulos retângulos OAB e CBD são semelhantes ? Pois bem , podemos usar então que

\frac{d(O,A)}{d(O,B)} = \frac{d(C,D)}{d(B,C)}

Sendo d(O,A) = 2 (u.c) e d(O,B) = 4 (u.c) obtemos que :

2d(C,D) = d(B,C) .

Podemos substituir este resultado na expressão que fornece a área do triângulo retângulo CBD que é \frac{d(C,D)d(B,C)}{2} =36 ,obtendo


[d(C,D)]^2 = 36 e portanto d(C,D) = 6  (u.c) . Daí , d(B,C) = 2d(C,D) = 12 (u.c) . Agora pelo terorema de Pitágoras ,

d(B,D)^2 = d(C,D)^2 +d(C,B)^2 . Tente concluir a parti daqui .

Respondendo a sua resposta agora .

A equação que você encontrou -x + 2y + 4 = 0 corresponde a eq. da reta que passa pelos pontos A,B (está correto verifiquei ) . Em relação ao ponto (1,-2) ,ele não pertence a reta em questão . Pois as coordenadas deste ponto não satisfaz a eq. desta reta ,

-(1) + 2(-2) + 4  =  - 1 \neq 0 ,logo descartamos a possibilidade do ponto C ser ele .
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor Flordelis25 » Seg Ago 05, 2013 21:39

Olá Santhiago! Como tem passado?

Eu tinha pensando nesse jeito por semelhança de triângulo, mas estava com receio de usá-lo. Bem, a questão é que eu fiz o que vc disse. Terminei Pitágoras e achei que d(B,D) = \sqrt[]{210}.
Ok, até aí tudo bem. Joguei na fórmula da distância e achei que:

{d(B,D)}^{2} = {(Xd - Xb)}^{2}+ {(Yd - Yb)}^{2}

{d(B,D)}^{2} = {(K-4)}^{2} + {(0-0)}^{2}

{(\sqrt[]{210})^{2} = {(K-4)}^{2}

210 = {K}^{2} -8K + 16

{K}^{2} - 8K - 194 = 0

Ok, eis que \Delta = 840. Então fiz Bhaskara só que está dando

k' = 8 + 2  \sqrt[]{210}/2  

   k'' = 8 - 2  \sqrt[]{210}/2.

Agora ou eu fiz uma coisa muito errada ou essa \sqrt[]{210} gostou tanto da minha burrice que resolver ficar aí, rindo da minha cara ( piadinha sem-graça eu sei kkk).
Falando sério, o que eu fiz de errado? Já estou ficando louca com esse exercício que estou pensando seriamente em abolir a letra k do meu alfabeto.

Agradeço desde já e desculpa por tomar seu tempo. :)
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor e8group » Seg Ago 05, 2013 22:00

Tudo certo . Na verdade é falta de prática mas não desista ! Observe ,

2d(C,D) = d(B,C) (lembra que obtemos este resultado por semelhança de triângulos )

Substituindo o resultado acima em ,


d(B,D)^2 = d(C,D)^2 + d(C,B)^2 (Esta igualdade decorre do Teorema de Pitágoras ) . Segue ,


d(B,D)^2 = d(C,D)^2+ [2d(C,D)]^2  =d(C,D)^2+ 4d(C,D)^2 = 5 d(C,D)^2 .

Assim ,


d(B,D) = \sqrt{5 d(C,D)^2} = \sqrt{5} \cdot d(C,D) .


Por outro lado ,


d(B,D) = k- 4 (porque ? ) . Então :

k-4 = \sqrt{5} \cdot d(C,D)

e portanto :

k = 4 + \sqrt{5} \cdot d(C,D) .Lembrando que d(C,D) = 6 (revise o tópico que encontramos este resultado ) obtemos finalmente k=4 + 6\sqrt{5} .


OBS.: Recomendo que refaça este exercício para aprender a desenvolver .
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Re: [plano cartesiano]Valor de k. Como acho?

Mensagempor Flordelis25 » Ter Ago 06, 2013 18:04

Hummm entendi. Eu não poderia ter feito direto. Tinha que ter "simplificado" mais.

Vou refazer esse exercício de novo, sem olhar a resolução para ver se peguei o raciocínio. Sabe como é, quando se estuda para o vestibular, matemática se torna o pesadelo rsrsr

De qualquer forma, obrigada mesmo pela ajuda Santhiago e desculpa ter tomado seu tempo com minhas perguntas, mas o professor do meu cursinho complica demais as coisas.

Obrigada mais uma vez :)
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)