[SUPERFICIE] Posição relativa de reta em uma sup esférica

por **amigao** » Sáb Jun 29, 2013 11:23

Seja r X=(1,0,a) + $\lambda$ (a,a,0) e S: 8x^2+8y^2+8z^2-16x+24y-8z+19=0

Determine a para que (a) r seja tangente (b) secante (c) exterior a S.

Eu tentei fazer porém aparece o lambda no meio me atrapalhando e não consigo tirá-lo e nem continuar. Como faço?
grato.

por **young_jedi** » Dom Jun 30, 2013 18:04

reescrevendo a equação da esfera temos

$(x-1)^2+(y+\frac{3}{2})^2+(z-\frac{1}{2})^2=\left(\frac{3}{2\sqrt2}\right)^2$

com isso temos o raio e o centro da esfera
agora si a reta é tangente a esfera então a distancia do centro ate a reta é igual ao raio. Então escolhemos um ponto qualquer da reta, por conveniência vamos escolher o ponto onde lambda é igual a zero ou seja o ponto

(1,0,a)

então fazendo o ponto central da esfera menos esse ponto teremos o vetor

$\overrightarrow{v}=\left(0,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}-a\right)$

calculando o modulo do produto vetorial deste vetor pelo vetor diretoo da reta e dividindo pelo modulo do vetor diretor teremos a distancia da reta ao cento que deve ser igual ao raio

$\frac{\left|\left(0,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}-a\right)\times\left(a,a,0\right)\right|}{|(a,a,0)|}=\frac{3}{2\sqrt2}$

tente concluir, comente se tiver duvidas