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[Geometria Analitica] Equação de reta

[Geometria Analitica] Equação de reta

Mensagempor LucasSG » Qui Jun 06, 2013 22:45

Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano pi, e perpendicular a reta AB. São dados pi: 2x-y+3z-1=0, A=(1,0,1), B=(0,1,2), s: X=(4,5,0)+a(3,6,1)

Não consigo resolver esse exercício, eu sei de algumas coisas:

Se r é paralela ao plano pi, ela é ortogonal ao vetor (2,-1,3), que é o vetor normal ao plano pi. Logo o produto escalar de r com (2,-1,3) sendo r o vetor diretor de r tem que ser nulo.
Se r é perpendicular a reta AB, então r.(-1,1,1)=0 (o produto escalar do vetor diretor da reta r com o vetor AB tem que ser nulo.)
Mas se eu escrevo a reta r na forma: X=(a,b,c)+y(m,n,p), eu tenho 7 incognitas nessa equação, e mesmo resolvendo os sistemas anteriores ainda me sobrariam varias, não sei bem como posso usar as informações de que r é concorrente com r e perpendicular a reta AB. (Eu acredito que tenho que encontrar os pontos onde as retas se interceptam, mas não sei como isso vai me ajudar, já que eu adicionaria varios parametros das outras retas ao sistema).

Por favor, podem me ajudar a prosseguir com a resolução?

Obrigado.
LucasSG
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Re: [Geometria Analitica] Equação de reta

Mensagempor e8group » Sáb Jun 08, 2013 22:15

Seguindo seu raciocínio , seja r : X = (a,b,c) + \gamma (m,n,p) .
Se r\perp l : X = A + \lambda \overrightarrow{AB}\implies \exists! P_0=(x_0,y_0,z_0) \in r,s (1) e \overrightarrow{AB} \perp \vec{d_r}=(m,n,p) \implies \vec{d_r} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 (2).

Se r \parallel \pi \implies \vec{d_r} \perp \overrightarrow{N_{\pi}} = (2,-1,3)  \implies \vec{d_r} \cdot \overrightarrow{N_{\pi}} = 0 (3) . Por (2),(3) teremos um sistema de três incógnitas para 2 equações ,poderemos por exemplo escreverm,n em função de p .Assim , o conjunto dos vetores múltiplos de p é o conjunto dos vetores diretores de r ,portanto a escolha para p é arbitrária .

Se r ,s são concorrentes,então ambas retas possuem um único ponto em comum (4) .Suponha que P_1 seja este ponto .Tente utilizar (4) e (1) para concluir .Comente as dúvidas .
e8group
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?