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[Vetor diretor] Encontrando um vetor diretor

[Vetor diretor] Encontrando um vetor diretor

Mensagempor amigao » Sex Mai 17, 2013 13:19

Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano ?1 : x+y+z = 0 e que forma um angulo de 45º com o plano ?2 : x ? y = 0.

Não tenho a minima ideia como faz. Tudo o que eu faço encontro uma equação com as 3 incognitas e mais nada.
amigao
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Re: [Vetor diretor] Encontrando um vetor diretor

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mai 18, 2013 12:11

amigao escreveu:Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano ?1 : x+y+z = 0 e que forma um angulo de 45º com o plano ?2 : x ? y = 0.


amigao escreveu:Não tenho a minima ideia como faz. Tudo o que eu faço encontro uma equação com as 3 incognitas e mais nada.


Primeiro, pense no seguinte: quantos vetores diretores uma reta tem? A resposta é: infinitos!

Já que uma reta tem infinitos vetores diretores, é de se esperar que a resolução deste exercício nos leve a um conjunto infinito de soluções. Depois, basta escolher um elemento deste conjunto solução, já que o exercício diz "Ache um vetor diretor (...)".

Para resolver o exercício, precisamos montar um sistema envolvendo as três incógnitas, que são na verdade as coordenadas de um vetor diretor da reta.

Por exemplo, suponha que um vetor diretor da reta seja \vec{d} = (a,\, b,\, c) .

Como a reta é paralela ao plano x + y + z = 0, temos que o vetor diretor dela é ortogonal ao vetor normal deste plano. Lembrando que um vetor normal deste plano é \vec{n}_{1} = (1,\,1,\,1) , temos que:

(a,\,b,\,c)\cdot (1,\,1,\,1) = 0 \implies a + b + c = 0

Por outro lado, como a reta forma 45° com o plano x - y = 0, temos que o vetor diretor dela também forma 45° com o vetor normal deste plano. Lembrando que um vetor normal deste plano é \vec{n}_{2} = (1,\,-1,\,0) , temos que:

\cos 45^\circ = \dfrac{(a,\,b,\,c)\cdot (1,\,-1,\,0)}{\|(a,\,b,\,c)\|\|(1,\,-1,\,0)\|} \implies a - b = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\, \implies -2ab = c^2

Deste modo, temos o seguinte sistema:
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
-2ab = c^2
\end{cases}

Agora tente continuar o exercício a partir daí. Ao resolver este sistema, você encontrará que ele possui infinitas soluções (como já era esperado).
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Re: [Vetor diretor] Encontrando um vetor diretor

Mensagempor amigao » Sáb Mai 18, 2013 20:12

Muito obrigado, foi isso que eu tinha chegado, mas não soube interpretar minha resposta :D
amigao
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D