Vamos fazer mudança de coordenadas .Para isto vamos associar ao eixo
e
,respectivamente ,a reta paralela(
) e perpendicular(
) à reta diretriz (dada) tais que ambas retas passam pela a mesma origem O.
Sejam
retas dadas por :
Podemos escrever a reta diretriz (dada) da seguinte forma :
Sabemos que
e
.
Assim ,
Para construirmos o novo sistema de coordenadas
ortogonal precisaremos dos vetores
unitários e mutuamente ortogonais .
Tomando por exemplo
e substituindo-se
nas equações da reta
e
obtemos que os pontos
e
pertencem ,respectivamente ,à
e
(Observe que
pontos são pontos dos eixos coordenados do novo sistema de coordenadas ortogonal) .
Através dos pontos obtidos acima podemos construir os vetores
e
e tomar explcítamente
e
que são vetores mutuamente ortogonais e unitários .
Se
,devemos encontrar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas ,para isto ,devemos encontar
tais que
A equação acima é equivalente ao sistema linear
Ou ,
ou ainda
Em que
com U_1 ,U_2 matrizes colunas .
Multiplicando-se à esquerda por
(deixo para você concluir que
) ,obtemos :
.
Desta forma ,as coordenadas de
em relação ao novo sistema são dadas por
.
Assim ,a equação diretriz em relação ao novo sistema é dada por :
(por favor faças as contas) e o ponto
(vértice da parábola).
Agora seguiremos o seguinte o roteiro :
(1) Determinar o ponto
tal que
seja ortogonal a
.
(2) Através do ponto
teremos o ponto
que é o foco da parábola (pois ,F é simétrico ao ponto P' em relação a V' )
(3) Uma vez que temos o foco F e equação da reta diretriz ,se
é o conjunto de pontos tais que
,então ao desenvolver esta expressão econtraremos a equação associada ao sistema
da parábola .(OBS.: as coordenadas de X é em relação ao novo sistema )
Segue então :
(1) É fácil ver que
(Verifique !)
(2) Se o ponto F é simétrico de P' em relação a V' ,temos então que
(3)
.
Simplificando :
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema . Para encontramos sua equação em relação ao sistema antigo ,substituiremos
por
e
por
.
Assim ,temos :
Simplificando :
que é aquação da parábola em relação ao sistema antigo .
OBS .: Infelizmente o texto ficou muito grande ,por este motivo omitir algumas manipulações algébricas e contas ,mas se permanecer dúvidas mande de volta . Convenhamos é um pouco "trabalhoso " este processo de mudança de coordenadas ,mas até que é divertido .
Vou anexar uma imagem da parábola com suas propriedades .