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por Ge_dutra » Sáb Mar 16, 2013 21:47
Olá, estou com dificuldade na seguinte questão:
Seja V(-2,1) o vértice de uma parábola e seja d: x+2y-1=0 a equação da diretriz. Escrever a equação da parábola.
Bom, eu fiz um esboço do grafico e notei que a diretriz está inclinada em relação aos eixos X e Y, e consequentemente a parábola também está. Entretanto não sei determinar a posição dos eixos X' e Y' para saber em relação a qual ela está paralela e nem achar o parametro.
Poderiam me ajudar?
Desde já, agradeço
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Ge_dutra
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por e8group » Dom Mar 31, 2013 11:53
Vamos fazer mudança de coordenadas .Para isto vamos associar ao eixo
e
,respectivamente ,a reta paralela(
) e perpendicular(
) à reta diretriz (dada) tais que ambas retas passam pela a mesma origem O.
Sejam
retas dadas por :
Podemos escrever a reta diretriz (dada) da seguinte forma :
Sabemos que
e
.
Assim ,
Para construirmos o novo sistema de coordenadas
ortogonal precisaremos dos vetores
unitários e mutuamente ortogonais .
Tomando por exemplo
e substituindo-se
nas equações da reta
e
obtemos que os pontos
e
pertencem ,respectivamente ,à
e
(Observe que
pontos são pontos dos eixos coordenados do novo sistema de coordenadas ortogonal) .
Através dos pontos obtidos acima podemos construir os vetores
e
e tomar explcítamente
e
que são vetores mutuamente ortogonais e unitários .
Se
,devemos encontrar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas ,para isto ,devemos encontar
tais que
A equação acima é equivalente ao sistema linear
Ou ,
ou ainda
Em que
com U_1 ,U_2 matrizes colunas .
Multiplicando-se à esquerda por
(deixo para você concluir que
) ,obtemos :
.
Desta forma ,as coordenadas de
em relação ao novo sistema são dadas por
.
Assim ,a equação diretriz em relação ao novo sistema é dada por :
(por favor faças as contas) e o ponto
(vértice da parábola).
Agora seguiremos o seguinte o roteiro :
(1) Determinar o ponto
tal que
seja ortogonal a
.
(2) Através do ponto
teremos o ponto
que é o foco da parábola (pois ,F é simétrico ao ponto P' em relação a V' )
(3) Uma vez que temos o foco F e equação da reta diretriz ,se
é o conjunto de pontos tais que
,então ao desenvolver esta expressão econtraremos a equação associada ao sistema
da parábola .(OBS.: as coordenadas de X é em relação ao novo sistema )
Segue então :
(1) É fácil ver que
(Verifique !)
(2) Se o ponto F é simétrico de P' em relação a V' ,temos então que
(3)
.
Simplificando :
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema . Para encontramos sua equação em relação ao sistema antigo ,substituiremos
por
e
por
.
Assim ,temos :
Simplificando :
que é aquação da parábola em relação ao sistema antigo .
OBS .: Infelizmente o texto ficou muito grande ,por este motivo omitir algumas manipulações algébricas e contas ,mas se permanecer dúvidas mande de volta . Convenhamos é um pouco "trabalhoso " este processo de mudança de coordenadas ,mas até que é divertido .
Vou anexar uma imagem da parábola com suas propriedades .
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e8group
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por Ge_dutra » Ter Abr 02, 2013 20:00
Convenhamos que é muito trabalhoso e nada divertido
Bom, mas eu não entendi a relação que você fez na resolução do passo (3) do roteiro...
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Ge_dutra
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por e8group » Ter Abr 02, 2013 21:29
No passo (3) do roteiro apenas apliquei a definição da parábola que é o lugar geométrico dos pontos
tais que
;onde as coordenadas do ponto
e do
(ponto este que é foco da parábola) e a reta diretriz
,todos estão associados ao novo sistema de coordenadas .Segue
.
Elevando ao quadrado ambos membros ,obtemos :
.
Ao desenvolvermos as expressões
e
observaremos que os termos
e
] que são comuns a ambas expressões se cancelaram (basta addcionar o simétrico[ou oposto] deles em ambos membros ) ,desta forma ficaremos com
.
Daí somando-se
em ambos membros , segue
ou
ou ainda
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema de coordenadas ,significa que se
é um ponto da parábola, então
é solução da equação
,caso contrário não o é .
É isso .
Dúvidas ? Se sim ,retorne .
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e8group
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por Ge_dutra » Qua Abr 03, 2013 00:06
Sem dúvidas, obrigada por dispor de seu tempo. Achei que não obteria mais resposta neste tópico.
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Ge_dutra
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Geometria Analítica
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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