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por Ge_dutra » Sáb Mar 16, 2013 21:47
Olá, estou com dificuldade na seguinte questão:
Seja V(-2,1) o vértice de uma parábola e seja d: x+2y-1=0 a equação da diretriz. Escrever a equação da parábola.
Bom, eu fiz um esboço do grafico e notei que a diretriz está inclinada em relação aos eixos X e Y, e consequentemente a parábola também está. Entretanto não sei determinar a posição dos eixos X' e Y' para saber em relação a qual ela está paralela e nem achar o parametro.
Poderiam me ajudar?
Desde já, agradeço
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Ge_dutra
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por e8group » Dom Mar 31, 2013 11:53
Vamos fazer mudança de coordenadas .Para isto vamos associar ao eixo
e
,respectivamente ,a reta paralela(
) e perpendicular(
) à reta diretriz (dada) tais que ambas retas passam pela a mesma origem O.
Sejam
retas dadas por :
Podemos escrever a reta diretriz (dada) da seguinte forma :
Sabemos que
e
.
Assim ,
Para construirmos o novo sistema de coordenadas
ortogonal precisaremos dos vetores
unitários e mutuamente ortogonais .
Tomando por exemplo
e substituindo-se
nas equações da reta
e
obtemos que os pontos
e
pertencem ,respectivamente ,à
e
(Observe que
pontos são pontos dos eixos coordenados do novo sistema de coordenadas ortogonal) .
Através dos pontos obtidos acima podemos construir os vetores
e
e tomar explcítamente
e
que são vetores mutuamente ortogonais e unitários .
Se
,devemos encontrar as coordenadas de P em relação ao novo sistema de coordenadas ,para isto ,devemos encontar
tais que
A equação acima é equivalente ao sistema linear
Ou ,
ou ainda
Em que
com U_1 ,U_2 matrizes colunas .
Multiplicando-se à esquerda por
(deixo para você concluir que
) ,obtemos :
.
Desta forma ,as coordenadas de
em relação ao novo sistema são dadas por
.
Assim ,a equação diretriz em relação ao novo sistema é dada por :
(por favor faças as contas) e o ponto
(vértice da parábola).
Agora seguiremos o seguinte o roteiro :
(1) Determinar o ponto
tal que
seja ortogonal a
.
(2) Através do ponto
teremos o ponto
que é o foco da parábola (pois ,F é simétrico ao ponto P' em relação a V' )
(3) Uma vez que temos o foco F e equação da reta diretriz ,se
é o conjunto de pontos tais que
,então ao desenvolver esta expressão econtraremos a equação associada ao sistema
da parábola .(OBS.: as coordenadas de X é em relação ao novo sistema )
Segue então :
(1) É fácil ver que
(Verifique !)
(2) Se o ponto F é simétrico de P' em relação a V' ,temos então que
(3)
.
Simplificando :
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema . Para encontramos sua equação em relação ao sistema antigo ,substituiremos
por
e
por
.
Assim ,temos :
Simplificando :
que é aquação da parábola em relação ao sistema antigo .
OBS .: Infelizmente o texto ficou muito grande ,por este motivo omitir algumas manipulações algébricas e contas ,mas se permanecer dúvidas mande de volta . Convenhamos é um pouco "trabalhoso " este processo de mudança de coordenadas ,mas até que é divertido .
Vou anexar uma imagem da parábola com suas propriedades .
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e8group
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por Ge_dutra » Ter Abr 02, 2013 20:00
Convenhamos que é muito trabalhoso e nada divertido
Bom, mas eu não entendi a relação que você fez na resolução do passo (3) do roteiro...
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Ge_dutra
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por e8group » Ter Abr 02, 2013 21:29
No passo (3) do roteiro apenas apliquei a definição da parábola que é o lugar geométrico dos pontos
tais que
;onde as coordenadas do ponto
e do
(ponto este que é foco da parábola) e a reta diretriz
,todos estão associados ao novo sistema de coordenadas .Segue
.
Elevando ao quadrado ambos membros ,obtemos :
.
Ao desenvolvermos as expressões
e
observaremos que os termos
e
] que são comuns a ambas expressões se cancelaram (basta addcionar o simétrico[ou oposto] deles em ambos membros ) ,desta forma ficaremos com
.
Daí somando-se
em ambos membros , segue
ou
ou ainda
que é a equação da parábola em relação ao novo sistema de coordenadas ,significa que se
é um ponto da parábola, então
é solução da equação
,caso contrário não o é .
É isso .
Dúvidas ? Se sim ,retorne .
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e8group
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por Ge_dutra » Qua Abr 03, 2013 00:06
Sem dúvidas, obrigada por dispor de seu tempo. Achei que não obteria mais resposta neste tópico.
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Ge_dutra
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Geometria Analítica
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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