Quádricas - Duas questões

por **renan_a** » Seg Jan 21, 2013 00:13

Olá pessoal! $\sqrt[]{6}$

Me deparei com duas questões de quádricas, nas quais não consigo resolver, porém não me parecem ser tão difíceis.

1 - descrever a equação do parabolóide de vértice na origem , sabendo que sua interseção com o plano z=4 é a circunferencia de C(0,0,4) e raio 3.

2- O traço de um elipsóide centrado na origem no plano xy é a elipse x^2 + y^2/4 = 1 , quando z=0 . Determinar a equação do elipsóide sabendo que contém o ponto (0,1, $\sqrt[]{6}$ )

por **LuizAquino** » Sex Fev 01, 2013 10:44

renan_a escreveu:1 - descrever a equação do parabolóide de vértice na origem , sabendo que sua interseção com o plano z=4 é a circunferencia de C(0,0,4) e raio 3.

Como a interseção do paraboloide com o plano z = 4 é uma circunferência (e este paraboloide tem vértice na origem), temos que o formato de sua equação será:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = z$

Determinando a interseção desse paraboloide com o plano z = 4, obtemos:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 4$

x^2 + y^2 = 4a^2

Note que esta deve ser uma circunferência de raio 3 (sendo que seu centro já é (0, 0, 4)).

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

renan_a escreveu:2- O traço de um elipsóide centrado na origem no plano xy é a elipse x^2 + y^2/4 = 1 , quando z=0 . Determinar a equação do elipsóide sabendo que contém o ponto (0,1, $\sqrt[]{6}$ )

Como o elipsoide está centrado na origem e sua interseção com o plano z = 0 é uma elipse, temos que sua equação está no formato:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$

Sabemos que sua interseção com o plano z = 0 é dada por:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{0^2}{c^2} = 1$

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Por outro lado, foi dito que essa interseção é a elipse:

$x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1$

Disso concluímos que a^2 = 1

e

. Falta então determinar c^2

para completar a equação do elipsoide. Para isso, basta usar o fato de que o elipsoide contém o ponto $\left(0,\, 1,\, \sqrt{6}\right)$ . Ou seja, podemos substituir esse ponto na equação do elipsoide.

Agora tente concluir o exercício a partir daí.