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por manuoliveira » Ter Nov 27, 2012 15:19
Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x² + xy
Tenho prova amanhã! Me ajudemmm!!
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manuoliveira
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por young_jedi » Ter Nov 27, 2012 16:53
primeiro encontrar o vetor normal do plano
![z=2x+3y z=2x+3y](/latexrender/pictures/0218cdd520f6544bf3bb08ae0cb76d08.png)
![2x+3y-z=0 2x+3y-z=0](/latexrender/pictures/5b623d7d15460853a54d337115d0b22c.png)
portanto o vetor normal sera (2,3,-1)
agora calculando
![\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x+y \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x+y](/latexrender/pictures/8a1ab0a6916f373e14314d5e772e5959.png)
nos temos o vetor
![(1,0,2x+y) (1,0,2x+y)](/latexrender/pictures/f8de9f6f2e206e16b645b6bbce515ec7.png)
e calculando
![\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x](/latexrender/pictures/2fd1181bd6a49c5f4d9f59d26f73e577.png)
nos temos o vetor
![(0,1,x) (0,1,x)](/latexrender/pictures/5082f039c99c19aa40c9060cddd4a1a0.png)
ambos os vetores são perpendiculares ao vetor normal ao plano portanto
![(2,3,-1)(1,0,2x+y)=0 (2,3,-1)(1,0,2x+y)=0](/latexrender/pictures/f62d5af087f5ed394e07ba9b74ded90c.png)
![(2,3,-1)(0,1,x)=0 (2,3,-1)(0,1,x)=0](/latexrender/pictures/b69190aacc1209842bc7a5f6e1f8c251.png)
então
![\begin{cases}2-2x-2y=0\\3-x=0\end{cases} \begin{cases}2-2x-2y=0\\3-x=0\end{cases}](/latexrender/pictures/f6ff85ba448cb55fd494289b844b5714.png)
então x=3 e y=-2
portanto
![f(x,y)=3^2+3.(-2) f(x,y)=3^2+3.(-2)](/latexrender/pictures/a51d82fbd9f22b85f0bc4e6dd7ed51ca.png)
![z=f(x,y)=3 z=f(x,y)=3](/latexrender/pictures/aac76939fef10f043c354df211b22231.png)
portanto o plano sera
![(x-3,y-(-2),z-3)(2,3,-1)=0 (x-3,y-(-2),z-3)(2,3,-1)=0](/latexrender/pictures/7f6ed3db085e87ad4c2ce8981cdb2b82.png)
![2x-6+3y+6-z+3 2x-6+3y+6-z+3](/latexrender/pictures/4dedca12c550ff9db36fba8cc6bb8022.png)
![2x+3y-z+3=0 2x+3y-z+3=0](/latexrender/pictures/68f18554daaa71e2bb6d0d998f24c415.png)
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por manuoliveira » Ter Nov 27, 2012 22:40
Obrigada!!
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Qua Set 16, 2009 12:30
Geometria Plana
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
![\frac{4\pi{r}^{2}}{3} \frac{4\pi{r}^{2}}{3}](/latexrender/pictures/4adf93ac70d8d95c78076c395c86eed1.png)
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
![\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15} \frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}](/latexrender/pictures/3459136506140a79d4694194c4171922.png)
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