[Vetores] Vetores iguais

por **KleinIll** » Dom Nov 04, 2012 12:17

Determine x e y para que os vetores $V = \left(-2 + x, \frac{1}{5} \right)$ e $w = \left(-\frac{1}{2}, 2y - 6\right)$ sejam iguais.

Tudo bem, temos que a divisão dos primeiros fatores de v e w é igual a divisão dos segundos. E o comprimento de v é igual ao de w.

Com estas afirmativas consegui duas equações.

O problema é que não há como resolver este sistema, cheguei em uma equação de quinto grau. Evidente que está errado, por isso peço a ajuda. Obrigado.

por **LuizAquino** » Dom Nov 04, 2012 13:21

KleinIll escreveu:Determine x e y para que os vetores $V = \left(-2 + x, \frac{1}{5} \right)$ e $w = \left(-\frac{1}{2}, 2y - 6\right)$ sejam iguais.

Tudo bem, temos que a divisão dos primeiros fatores de v e w é igual a divisão dos segundos. E o comprimento de v é igual ao de w.

Com estas afirmativas consegui duas equações.

O problema é que não há como resolver este sistema, cheguei em uma equação de quinto grau. Evidente que está errado, por isso peço a ajuda. Obrigado.

Para que dois vetores sejam iguais, eles precisam possuir: a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou módulo).

Mas o que você fez foi o seguinte:
a) "(...) temos que a divisão dos primeiros fatores de v e w é igual a divisão dos segundos". Primeiro, aqui ao invés de dizer "fatores" você deveria dizer "coordenadas". Observado isso, o que você fez aqui foi dizer que os vetores v e w devem possuir a mesma direção.
b) "(...) E o comprimento de v é igual ao de w". Aqui você está claramente tratando sobre a igualdade entre os comprimentos (ou módulos).

Note então que você esqueceu de mais uma necessidade para que os vetores sejam iguais: eles devem possuir o mesmo sentido.

Resumindo então, para que os vetores $\vec{v} = (a,\,b)$ e $\vec{w} = (c,\,d)$ sejam iguais, devemos ter a = c e b = d.

Desse modo, considerando os vetores dados no exercício, para que eles sejam iguais, devemos ter:

$\begin{cases} -2 + x = -\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{5} = 2y - 6 \end{cases}$

Agora continue o exercício a partir daí.

por **KleinIll** » Dom Nov 04, 2012 13:50

LuizAquino escreveu:
KleinIll escreveu:Determine x e y para que os vetores $V = \left(-2 + x, \frac{1}{5} \right)$ e $w = \left(-\frac{1}{2}, 2y - 6\right)$ sejam iguais.

Tudo bem, temos que a divisão dos primeiros fatores de v e w é igual a divisão dos segundos. E o comprimento de v é igual ao de w.

Com estas afirmativas consegui duas equações.

O problema é que não há como resolver este sistema, cheguei em uma equação de quinto grau. Evidente que está errado, por isso peço a ajuda. Obrigado.

Para que dois vetores sejam iguais, eles precisam possuir: a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou módulo).

Mas o que você fez foi o seguinte:
a) "(...) temos que a divisão dos primeiros fatores de v e w é igual a divisão dos segundos". Primeiro, aqui ao invés de dizer "fatores" você deveria dizer "coordenadas". Observado isso, o que você fez aqui foi dizer que os vetores v e w devem possuir a mesma direção.
b) "(...) E o comprimento de v é igual ao de w". Aqui você está claramente tratando sobre a igualdade entre os comprimentos (ou módulos).

Note então que você esqueceu de mais uma necessidade para que os vetores sejam iguais: eles devem possuir o mesmo sentido.

Resumindo então, para que os vetores $\vec{v} = (a,\,b)$ e $\vec{w} = (c,\,d)$ sejam iguais, devemos ter a = c e b = d.

Desse modo, considerando os vetores dados no exercício, para que eles sejam iguais, devemos ter:

$\begin{cases} -2 + x = -\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{1}{5} = 2y - 6 \end{cases}$

Agora continue o exercício a partir daí.

Obrigado pelo esclarecimento.

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