Distância de ponto à reta

[Jonatan]

Pessoal, estava aqui estudando questões referente ao capítulo de distância de ponto à reta e me deparei com a seguinte questão, fonte UFMG:

Determine a equação da bissetriz do menor ângulo formado pelas retas de equações y = 0 e y = 3x.

Tentando fazer:

Chamei de reta r a de equação y = 0,
Chamei de reta s a de equação y = 3,

Concluí que a reta r é o próprio eixo x, correto? E a reta s é função linear (passa pela origem, tem seu coeficiente linear nulo; coeficiente angular diferente de zero), correto?
A partir daí, não sei como andar no exercício, o que faço agora? Grato desde já.

[Tom]

Seja , cujo coeficiente angular é , e , cujo coeficiente angular é .

Da interpretação geométrica do coeficiente angular, podemos calcular o ângulo agudo formado pelas retas:

Como , decorre que , isto é, é o ângulo que a reta faz com a reta , portanto, com o eixo já que, de fato, a reta é o próprio eixo das abicissas.

Queremos a equação da bissetirz interna do ângulo . Note que o coeficiente linear da reta supracitada será nulo, já que a mesma também passa pela origem assim como as demais retas em questão. Além disso o ângulo que a reta bissetriz forma com o eixo é , em decorrência da definição de bissetriz.

Concluímos assim, que o coeficiente angular da reta bissetriz será numericamente igual a:

Usando a relação de duplicação do arco para a função tangente, temos:

Chamando , como , temos:

e decorre em, , e como esse valor deve ser positivo pois o ângulo pertence ao primeiro quadrante, , que é o coeficiente angular da bissetriz.


Assim, a equação da reta bissetriz é: