Retas concorrentes

por **marquinhoibvb** » Qui Jun 05, 2008 22:39

Alguém pode me ajudar?
Me deparei com o seguinte exercício:
Uma das diagonais de um losango é o segmento de extremos (1,4) e (3,2).
A outra diagonal está contida na reta de equação:
a) X + Y = 0
b) X + Y + 1 = 0
c) X + Y - 1 = 0
d) X - Y - 1 = 0
e) X - Y + 1 = 0

Se alguém puder ajudar.. não sei como achar a reta sem pelo menos uma reta.. entede... tinha q ter uma das retas disponíveis pra eu achar a outra reta.... só deu os pontos...

por **admin** » Sex Jun 06, 2008 00:27

Olá marquinhoibvb, boa noite, seja bem-vindo!

Os dois pontos extremos dados da diagonal do losango já permitem que você encontre a reta que os contém. Comentarei as etapas:

O primeiro passo é encontrar o coeficiente angular desta reta, ou seja, sua inclinação.
Sendo a reta não perpendicular ao eixo x (não vertical), ela possuirá uma inclinação de um ângulo $\alpha$ com o eixo x. O "coeficiente angular" é a tangente deste ângulo, calculada através das coordenadas dos dois pontos.

Se chamamos de

este coeficiente angular, assim como A=(1,4)

e

, então:
$m = tg \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Assim, teremos o coeficiente angular da reta que contém

e

.
Com ele, e escolhendo um dos dois pontos, obtemos a equação da reta, substituindo o ponto escolhido em (x_0, y_0)

:

Com a equação desta reta, que podemos chamar de

, e seu o coeficiente angular m_r

, agora o próximo passo é utilizar a propriedade do losango que possui as diagonais "perpendiculares".
Se as diagonais são perpendiculares, as retas que as contém também são perpendiculares, ou seja, a outra reta

procurada é perpendicular à

, de modo que o produto de seus coeficientes angulares é:

$m_r \cdot m_s = -1$

Daqui, encontramos o coeficiente angular da outra reta

(da outra diagonal do losango).

Agora, resta saber um ponto por onde ela passa, utilizando outra propriedade dos paralelogramos (o losango é um paralelogramo):
Suas diagonais se interceptam em seus pontos médios.
Então, encontre as coordenadas do ponto médio do segmento dado, pois a reta

também passará por este ponto.
Com as coordenadas deste ponto médio e o coeficiente angular m_s