Essa elipse e essa parábola se encontram?

por **Gregorio Diniz** » Qua Mar 12, 2014 17:00

Senhores, resolvi esta questão desenhando os gráficos.

Entretanto, me veio um dúvida: como resolver usando apenas álgebra. Não consegui.

Alguém poderia ajudar?

A questão é simplesmente determinar os pontos de encontro da elipse x^2/9+y^2/25=1

e da parábola 2y^2=2x-7

.

A respostas é que a elipse e a parábola não se encontram, o que é bem fácil visualizando-se os gráficos.

Grato.

Gregório

por **Russman** » Qua Mar 12, 2014 18:18

Suponha que as curvas se encontrem em um ponto genérico (x,y)

. Se isto é verdade, então este ponto pertence as duas curvas simultaneamente! Assim, monta-se um sistema de equações

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25}=1\\ 2y^2 = 2x-7 \end{matrix}\right.$

pois o ponto (x,y)

deve satisfazer ambas equações.

Esse sistema não-linear pode ser resolvido com substituição. Multiplique a 1° equação por 2 e substitua o 2y^2

da equação de baixo.

$\frac{2x^2}{9} + \frac{2y^2}{25}=2$
50x^2 + 9.2y^2 = 450

---> Só pra eliminar as frações
50x^2 + 9.(2x-7) = 450

---> efetuamos a substituição
50x^2 + 18x - 513=0

Obtivemos uma equação de 2° grau para a ordenada x do ponto. Esta equação possui duas raízes reais! Isto é, ainda existe a possibilidade de encontro entre as curvas. Porém, se você calcular estas raízes verá que elas encontram-se em um intervalo(aproximado) [-3,4;3,03]

o que não gera raízes reais para y!

Da segunda equação, como para todo y é necessário que 2y^2>0

, temos

$2x-7>0 \Rightarrow x>3,5$ .

Assim, as raízes da equação obtida para x não estão dentro do intervalo necessário para a existência de y real!

Portanto tal ponto de encontro não existe.