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Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

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Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

por anapmarinho » Dom Out 20, 2013 17:25

Como eu resolvo o exercício?

Determine a equação da esfera que passa pelos pontos A=(2,3,-2), B=(1,0,-2) e C=(5,-1,-3) e possui centro no plano x-y+2z=-6

anapmarinho: Novo Usuário; Mensagens: 1; Registrado em: Dom Out 20, 2013 17:18; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia telecomunicações; Andamento: cursando

Re: Determinar a equação da esfera!!!! Ajuda

por e8group » Ter Out 22, 2013 20:22

Pensei da seguinte forma . Chamamos de $\pi$ o plano dado . E suponhamos que $M =(a,b,c) \in \pi$ seja o ponto médio da esfera .Ora ,se $M =(a,b,c) \in \pi$ , então suas coordenadas satisfaz a equação do plano que é :

x-y+2z = -6

x-y+2z = -6

. Logo ,

a -b +2c = - 6

.

Além disso , a esfera é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto fixo

. Assim , um ponto P= (x,y,z)

P= (x,y,z)

pertence a esfera se, e somente se ,

$d(P,M) = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 } = r = \text{constante}$ , ou de forma equivalente

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2

(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2

.Por outro lado ,

utilizando os pontos dados , temos

r^2 = [d(A,M)]^2 = [d(B,M)]^2 ] = [d(C,M)]^2 ]

r^2 = [d(A,M)]^2 = [d(B,M)]^2 ] = [d(C,M)]^2 ]

, ou seja ,

r^2 = (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 = (5-a)^2 + (-1-b)^2 + (-3-c)^2

r^2 = (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2 = (5-a)^2 + (-1-b)^2 + (-3-c)^2

. Através da igualdade (2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2

(2-a)^2 + (3-b)^2 + (2-c)^2 = (1-a)^2 + (-b)^2 + (-2-c)^2

e tendo em vista que os termos a^2
,b^2,c^2

a^2
,b^2,c^2

em ambos lados da igualdade se cancelem , obteremos :

4 - 4a + 9 -6b + 4 -4c = 1 -2a + 4 + 4c

4 - 4a + 9 -6b + 4 -4c = 1 -2a + 4 + 4c

e isolando uma das variáveis como por exemplo "b" , segue

b = 2-a/3-(4 c)/3

b = 2-a/3-(4 c)/3

, mas lembrando que a -b +2c = - 6

a -b +2c = - 6

, ou seja , b = a+2c - 6

b = a+2c - 6

,então ,

2-a/3-(4 c)/3 = a+2c - 6

o que implica c = 12/5-(2 a)/5

c = 12/5-(2 a)/5

, substituindo esta expressão em b = a+2c - 6

b = a+2c - 6

, obterá

b = 1/5 (-6+a)

. Encontramos então as variáveis c,b

c,b

em função de a . Para determinar

. Basta substituir c,b

c,b

em

a -b +2c = - 6

.

Tente concluir e comente as dúvidas .

e8group: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1400; Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia Elétrica; Andamento: cursando

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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de $\frac{4\pi{r}^{2}}{3}$
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é $1,066\pi$

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

$V = \frac{4\pi}{3}r^2$

Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}$

Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}$

$\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}$

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