[Vetores no Tetraedro] Escrever vetor em função de outro

por **marco9712** » Qua Jul 03, 2013 23:07

Olá amigos, estou com dificuldade no seguinte problema.

Sendo OABC um tetraedro e X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC, escrever o vetor OX em termos de AO, OB e CO.

por **young_jedi** » Sex Jul 05, 2013 16:49

tomando os pontos A, B e C e encontrando os pontos médio de AB (M) e AC (N)

$M=\frac{A+B}{2}$

$N=\frac{A+C}{2}$

encontrando a reta r que passa por CM

$r:\frac{A+B}{2}+t\left(C-\frac{A+B}{2}\right)$

e a reta S que passa pro BN

$s:\frac{A+C}{2}+t\left(B-\frac{A+C}{2}\right)$

o ponto O esta na intersecção das duas retas portanto igualando as equações

$\frac{A+C}{2}+t\left(B-\frac{A+C}{2}\right)=\frac{A+B}{2}+t\left(C-\frac{A+B}{2}\right)$

com isso chegamos em

$\frac{C-B}{2}=t\frac{3}{2}(C-B)$

$\overrightarrow{CB}=3t.\overrightarrow{CB}$

então temos que

$t=\frac{1}{3}$

substituindo em uma das retas anteriores encontramos o ponto X

$X=\frac{B}{3}+\frac{A}{3}+\frac{C}{3}$

temos então que

$\overrightarrow{OX}=O-X=O-\frac{B}{3}-\frac{A}{3}-\frac{C}{3}$

$\overrightarrow{OX}=\frac{O}{3}-\frac{B}{3}+\frac{O}{3}-\frac{A}{3}+\frac{O}{3}-\frac{C}{3}$

$\overrightarrow{OX}=-\frac{\overrightarrow{AO}}{3}-\frac{\overrightarrow{BO}}{3}-\frac{\overrightarrow{CO}}{3}$

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