[Independencia Linear] Prova

por **LucasSG** » Qua Mai 22, 2013 08:31

Prove:

$(2\vec{u}+\vec{w}, \vec{u}-\vec{v}, \vec{v}+\vec{w}) L.I. \Leftrightarrow\ (\vec{u}-\vec{w}, \vec{u}+\vec{v}, \vec{u}+\vec{w}) L.I.$

Pessoal, estou precisando muito de ajuda neste exercicio, agradeço muito se alguem puder me mostrar uma maneira de resolver. O exercicio pede pra supor que o primeiro conjunto é L.I. e depois provar que o segundo é tambem, e após isso fazer a volta(Não sei se a minha notação ficou clara)

Muito obrigado desde já.

por **e8group** » Sáb Mai 25, 2013 12:54

$(\Rightarrow)$

Se a sequência (2u+w,u-v,v+w)

de vetores é L.I ,segue-se pela definição de Independência linear que (2u+w,u-v,v+w)

é L.I $\iff$ a equação $\gamma_1 (2u+w) + \gamma_2 (u-v) + \gamma_3 (v+w) = 0^*$ admite apenas solução trivial , que é $\gamma_1 =\gamma_2 = \gamma_3 = 0$ .Onde , 0^*

denota-se o vetor nulo .
Mas ,devido aos axiomas do espaço vetorial ,claramente

$\gamma_1 (2u+w) + \gamma_2 (u-v) + \gamma_3 (v+w) = 0^* \implies \gamma_1 (u-w) + \gamma_2 (u+v) + \gamma_3 (u+w) = 0^*$ $\implies (u-w,u+v,u+w)$ é L.I . (Verifique !)

$(\Leftarrow)$

Suponha que

é L.I , deveremos mostrar que (2u+w,u-v,v+w)

também será L.I . Fica como exercício .

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