Produto vetorial/Norma de um vetor

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Produto vetorial/Norma de um vetor

Mensagempor Danilo » Sáb Out 13, 2012 16:03

Ache Y x (\vec{i} + \vec{k}) = 2(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}) e \left|Y \right| = \sqrt[]{6} aqui essa barra representa a Norma de Y, pois eu não encontrei a ''barra dupla''. E ''x'' é o produto vetorial.

Bom, inicialmente eu substitui os vetores canônicos pelas suas respectivas componentes. Mas eu não consigo relacionar a norma com o produto vetorial... esse é o problema. Grato a quem puder dar uma luz!
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Re: Produto vetorial/Norma de um vetor

Mensagempor MarceloFantini » Sáb Out 13, 2012 17:05

Seja Y = (a,b,c). Então Y \times (\vec{i} + \vec{k}) = (a,b,c) \times (1,0,1) = (b,-a+c,-b), que por hipótese segue que (b,-a+c,-b) = (2,2,-2).

Assim, c=2+a e b=2, portanto o vetor Y será Y=(a,b,c) = (a,2,2+a).

Agora usamos a informação que |Y| = \sqrt{6}. Sabemos que |Y|^2 = a^2 + 4 +(2+a)^2 = 6, então a^2 +4 +4 -2a +a^2 = 2a^2 +4a +8 = 6, a^2 +2a +4 = 3 e a^2 +2a +1 = (a +1)^2 =0, portanto a=-1.

Finalmente, concluímos que Y = (-1,2,1). Você pode verificar fazendo (-1,2,1) \times (1,0,1).
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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