[Equação de planos] Dúvida exercício

por **MrJuniorFerr** » Sáb Out 06, 2012 17:16

Olá a todos, estou resolvendo uma lista de planos e não consegui resolver este exercício:

Escreva uma equação do plano definido pelo ponto (2,1,3) e a interseção do plano 2x-y-z=2

com um plano

.

Eu havia tentado fazer assim:
Sei que a equação de um plano

é

, portanto, eu primeiramente deveria achar a interseção do plano 2x-y-z=2

com o plano z=0

, que no caso será uma reta.

Como z=0,
2x-y-(o)=2

Isolando o y:
y=-2+2x

Isolando o x:
$x=\frac{2+y}{2}$

Ou seja, creio que o ponto de interseção destes dois planos seria:
$I(x,y,z) = (\frac{2+y}{2}, -2+2x, 0)$

O que fazer depois disto?

por **young_jedi** » Sáb Out 06, 2012 17:38

primeiramente, voce pode ceixar a equação da reta em função de apenas uma variavel

com você ja tinha achado y=2-2x

então a equação da reta é

(x,2-2x,0)

agora veja o seguinte, primeiro voce encontra dois pontos pertencentes a reta, quaisquer dois pontos M e N
então voce acha os vetores

$\overrightarrow{PM}$ e $\overrightarrow{PN}$

fazendo o produto vetorial voce vai encontrar um vetor que normal ao plano que voce quer

então voce tendo um ponto qualquer X=(x,y,z) pertencente ao plano

o vetor $\overrightarrow{PX}$ sera perpendicular ao vetor normal, ou seja o produto escalar entre eles é igual a 0
com isso voce encontra a equação do plano.