Geometria - plano e curva

por **marinalcd** » Seg Ago 20, 2012 21:04

Determine a curva de interseção entre o hiperbolóide x²+y²-z²=4, z>0 e o plano y+2z=5.
Não tô conseguindo fazer a interseção. Pois primeiro coloquei tudo num sistema, mas não deu certo.
É óbvio, pois um é plano e outro é hiperboloide. Mas não tô conseguindo de outra forma.

por **Russman** » Ter Ago 21, 2012 02:52

Você tem o seguinte sistema para resolver:

$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 - z^2 = 4\\ y+2z=5 \end{matrix}\right.$

sujeito a restrição z>0

, isto é, o hiperbolóide "positivo".

Basta que você isole uma das incógnitas na equação do plano e aplique na eq. do hiperbolóide!
Segue

que
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 - z^2 = 4\\ y+2z=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 - z^2 = 4\\ z=\frac{1}{2}(5-y) \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2- \frac{1}{4} (5-y)^2 = 4$

de onde,

$x^2+y^2- \frac{1}{4} (5-y)^2 = 4\Rightarrow 4x^2+4y^2-25+10y-y^2 = 16\Rightarrow 4x^2+3y^2 + 10y -41=0$ .

Isto é uma elipse! (:

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