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Geometria Analítica

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Mensagempor marinalcd » Qua Mai 02, 2012 17:13

Determine as equações da reta que contém a bissetriz do ângulo POQ,
com P = (0; 1;-2), Q = (1; 2; 3) e O = (1;-2; 0).

Bom, como a reta contém a bissetriz, disse que o ponto O pertence à reta.
Mas não estou conseguindo calcular o vetor, tentei calcular o vetor PQ
(que seria um vetor normal à esta reta), mas não estou sabendo transformar
este vetor em vetor direção da reta.
Alguém pode me ajudar??
marinalcd
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 03, 2012 11:17

marinalcd escreveu:Determine as equações da reta que contém a bissetriz do ângulo POQ,
com P = (0; 1;-2), Q = (1; 2; 3) e O = (1;-2; 0).


marinalcd escreveu:Bom, como a reta contém a bissetriz, disse que o ponto O pertence à reta.


Ok.

marinalcd escreveu:Mas não estou conseguindo calcular o vetor, tentei calcular o vetor PQ (que seria um vetor normal à esta reta), mas não estou sabendo transformar este vetor em vetor direção da reta.


Não necessariamente \overrightarrow{PQ} é normal a reta. Isso aconteceria caso o triângulo POQ fosse isósceles, com base PQ. Entretanto, esse não é o caso.

Façamos o seguinte. A partir do triângulo POQ vamos construir o triângulo isósceles P'OQ' tal que PÔQ = P'ÔQ'. Vide a figura abaixo.

figura1.png
figura1.png (5.22 KiB) Exibido 697 vezes


A vantagem nessa construção é que a reta que contém a bissetriz irá passar pelo ponto O e pelo ponto M, que é o ponto médio de P'Q' (já que P'OQ' será isósceles).

Desse modo, o nosso primeiro trabalho será determinar P' e Q'.

Por praticidade, vamos determinar P' e Q' tais que \left\|\overrightarrow{OP'}\right\| = 1 e \left\|\overrightarrow{OQ'}\right\| = 1 . Para que isso aconteça, basta fazer:

\overrightarrow{OP'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OP}\right\|}\overrightarrow{OP}

\overrightarrow{OQ'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OQ}\right\|}\overrightarrow{OQ}

Vamos começar determinando P'. Como \overrightarrow{OP} = (-1,\,3,\,-2), temos que:

\overrightarrow{OP'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OP}\right\|}\overrightarrow{OP}

(x,\, y,\, z) - (1,\,-2,\,0) = \frac{1}{\sqrt{14}}(-1,\,3,\,-2)

Resolvendo essa equação encontramos que P' = \left(-\frac{1}{\sqrt{14}} + 1,\, \frac{3}{\sqrt{14}} - 2,\, -\frac{2}{\sqrt{14}}\right) .

Lembrando que \overrightarrow{OQ} = (0,\,4,\,3) e procedendo de modo análogo, podemos determinar que Q' = \left(1,\, -\frac{6}{5},\, \frac{3}{5}\right) .

Agora tente terminar o exercício a partir daí.
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59