Geometria Analítica

por **marinalcd** » Qua Mai 02, 2012 17:13

Determine as equações da reta que contém a bissetriz do ângulo POQ,
com P = (0; 1;-2), Q = (1; 2; 3) e O = (1;-2; 0).

Bom, como a reta contém a bissetriz, disse que o ponto O pertence à reta.
Mas não estou conseguindo calcular o vetor, tentei calcular o vetor PQ
(que seria um vetor normal à esta reta), mas não estou sabendo transformar
este vetor em vetor direção da reta.
Alguém pode me ajudar??

por **LuizAquino** » Qui Mai 03, 2012 11:17

marinalcd escreveu:Determine as equações da reta que contém a bissetriz do ângulo POQ,
com P = (0; 1;-2), Q = (1; 2; 3) e O = (1;-2; 0).

marinalcd escreveu:Bom, como a reta contém a bissetriz, disse que o ponto O pertence à reta.

Ok.

marinalcd escreveu:Mas não estou conseguindo calcular o vetor, tentei calcular o vetor PQ (que seria um vetor normal à esta reta), mas não estou sabendo transformar este vetor em vetor direção da reta.

Não necessariamente $\overrightarrow{PQ}$ é normal a reta. Isso aconteceria caso o triângulo POQ fosse isósceles, com base PQ. Entretanto, esse não é o caso.

Façamos o seguinte. A partir do triângulo POQ vamos construir o triângulo isósceles P'OQ' tal que PÔQ = P'ÔQ'. Vide a figura abaixo.

: figura1.png (5.22 KiB) Exibido 697 vezes

A vantagem nessa construção é que a reta que contém a bissetriz irá passar pelo ponto O e pelo ponto M, que é o ponto médio de P'Q' (já que P'OQ' será isósceles).

Desse modo, o nosso primeiro trabalho será determinar P' e Q'.

Por praticidade, vamos determinar P' e Q' tais que $\left\|\overrightarrow{OP'}\right\| = 1$ e $\left\|\overrightarrow{OQ'}\right\| = 1$ . Para que isso aconteça, basta fazer:

$\overrightarrow{OP'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OP}\right\|}\overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OQ'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OQ}\right\|}\overrightarrow{OQ}$

Vamos começar determinando P'. Como $\overrightarrow{OP} = (-1,\,3,\,-2)$ , temos que:

$\overrightarrow{OP'} = \frac{1}{\left\|\overrightarrow{OP}\right\|}\overrightarrow{OP}$

$(x,\, y,\, z) - (1,\,-2,\,0) = \frac{1}{\sqrt{14}}(-1,\,3,\,-2)$

Resolvendo essa equação encontramos que $P' = \left(-\frac{1}{\sqrt{14}} + 1,\, \frac{3}{\sqrt{14}} - 2,\, -\frac{2}{\sqrt{14}}\right)$ .

Lembrando que $\overrightarrow{OQ} = (0,\,4,\,3)$ e procedendo de modo análogo, podemos determinar que $Q' = \left(1,\, -\frac{6}{5},\, \frac{3}{5}\right)$ .

Agora tente terminar o exercício a partir daí.

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