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produto vetorial ( calculo da area)

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Mensagempor ubelima » Sáb Abr 28, 2012 09:39

Ola, estou com dificuldade em determinar a area de um triangulo. a questão apresentam um triângulo ABC com seus pontos medios M(0,1,3), N(3,-2,2) e P(1,0,2).

Desenhei o triangulo, relacionei os dados com diversa formulas, mas sem sucesso.

Se alguem puder me orientar, agradeço o apoio.
ubelima
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Re: produto vetorial ( calculo da area)

Mensagempor Guill » Sáb Abr 28, 2012 10:05

Primeiramente, sabemos que o triângulo ABC é compostro por três lados, AB, BC e AC. Sabemos também que a área de um triângulo é a metade do produto da base pela altura.

Uma vez que temos os pontos médios dos lados como:

M = (0 ; 1 ; 3) ---> Ponto médio de AB
N = (3 ; -2 ; 2) ---> Ponto médio de AC
P = (1 ; 0 ; 2) ---> Ponto médio de BC


Suponhamos os vetores A, B e C tais que:

A = ({a}_{1} ; {a}_{2} ; {a}_{3})

B = ({b}_{1} ; {b}_{2} ; {b}_{3})

C = ({c}_{1} ; {c}_{2} ; {c}_{3})


Fica claro que:

AB = ({a}_{1}-{b}_{1} ; {a}_{2}-{b}_{2} ; {a}_{3}-{b}_{3})=(0;2;6)

AC = ({a}_{1}-{c}_{1} ; {a}_{2}-{c}_{2} ; {a}_{3}-{c}_{3})=(6;-4;4)

BC = ({b}_{1}-{c}_{1} ; {b}_{2}-{c}_{2} ; {b}_{3}-{c}_{3})=(2;0;4)


Resolvendo o sistema por igualdade de vetores, encontraremos todos os valores dos vetores. Depois disso, basta calcular o comprimento de cada um dos lados desse triângulo e usar a relação:

Área = \sqrt[]{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados do triâgulo.
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.