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coordenadas cartesianas

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Mensagempor Priscila_moraes » Dom Nov 20, 2011 23:29

Olá pessoal precisa da ajuda de vocês como posso transformas a equação abaixo em coordenada cartesiana e identificar sua curva
r=cos\theta

e

r=\frac{1}{cos\theta+sen\theta}
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Re: coordenadas cartesianas

Mensagempor LuizAquino » Seg Nov 21, 2011 13:45

Priscila_moraes escreveu:Olá pessoal precisa da ajuda de vocês como posso transformas a equação abaixo em coordenada cartesiana e identificar sua curva
r=\cos\theta

e

r=\frac{1}{\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta}


Lembre-se que as relações entre o ponto P=(r,\, \theta) em coordenadas polares com o seu equivalente P=(x,\, y) em coordenadas cartesianas são:

(i) x = r\cos \theta ;

(ii) y = r\,\textrm{sen}\,\theta ;

(iii) r = \sqrt{x^2 + y^2} ;

(iv) \theta = \textrm{arctg}\, \frac{y}{x} , caso x\neq 0.

Para transformar as equações dadas em coordenadas polares para as suas equivalentes em coordenadas cartesianas, você deve fazer manipulações para fazer aparecer as relações acima.

Por exemplo, considere a primeira equação:

r=\cos\theta

Multiplicando toda a equação por r, temos que:

r^2 = r\cos\theta

Lembrando-se das relações (i) e (iii), temos que:

x^2 + y^2 = x

x^2 - x + y^2 = 0

Completando quadrados em relação a variável x, temos que:

\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + y^2 = 0

\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}

Essa equação representa uma circunferência de raio 1/2 e centro (1/2, 0).

Agora tente transformar a segunda equação. Comece percebendo que:

r = \frac{1}{\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta} \Rightarrow r\left(\cos\theta+\,\textrm{sen}\,\theta\right) = 1
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}